复变函数课件4-2.ppt

第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具.将解析函数表为级数不仅有理论上的意义,而且也有实用的意义.例如,利用级数可以计算函数的近似值、解微分方程等. 本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，对于某些和数学分析中平行的结论，往往只叙述而不加证明。 §4.1 复级数的基本性质 §4.2 幂级数 §4.3 解析函数的泰勒展式 §4.4 解析函数零点的孤立性及唯 一性定理 1、幂级数的敛散性 4、典型例题 5、小结与思考 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 §4.2 幂级数 1、幂级数的敛散性 2、幂级数的收敛半径的求法 3、幂级数的和函数的解析性 4、例题 5、小结 1 幂级数的定义： 形式的复函数项级数称为幂级数,其中 c0,c1,c2 ,…,a都是复常数. 幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理. 具有 若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式 定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a||z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛. 证:设z是所述圆内任意一点.因为 (n=0,1,2,…), 注意到|z-a||z1-a|, 故级数 a 收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使 收敛 其次,对K内任一闭圆 在圆?K?上有收敛的优级数 因而它在?K?上一致收敛.再由定理4.8,此级数 必在圆K内内闭一致收敛. 在圆K内绝对收敛. 上的一切点来说,有: a 推论4.11 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散. a z1 z2 其敛散性有以下三种情况: (1) 对所有的复数z都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛. 2.幂级数的敛散性讨论 对于一个幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的， 例如, 级数 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛. (2) 除 z=a 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如,级数 通项不趋于零, 故级数发散. (3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理4.10的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝对收敛),另外又存在一点z2,使级数发散.根据推论4.11知,它必在圆周|z-a|=|z2-a|外部发散 . . 收敛圆 收敛半径 幂级数 的收敛范围是以a点为中心的圆域. 收敛圆周 一个幂级数在其收敛圆周上的敛散性有如下 三种可能:1)处处发散;(2)既有收敛点,又有发散点; (3)处处收敛. 定理4.12 如果幂级数(4.3)的系数cn合于 或 或 2、幂级数的收敛半径的求法 则幂级数 的收敛半径为: R= 1/l (l≠0,l≠+∞) 0 (l=+∞); +∞ (l=0). (4.4) 定理4.13 (1) 幂级数 (4.5) 的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R≤+∞)内解析. 3、 幂级数的和函数的解析性 (2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即： (p=1,2,…) (4.6) (3) (p=0,1,2,…). (4.7) 例1 求幂级数 的收敛范围与和函数. 解 级数的部分和为 级数 收敛, 级数 发散. 且有 收敛范围为一单位圆域 由阿贝尔定理知: 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 例2 求下列幂级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) 或 解 (1) 因为 所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 收敛的 级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 在圆周 上, 级数 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点. 原级数成为 交错级数, 收敛. 发散. 原级数成为 调和级数， (2) 故收敛半径 例3 求幂级数 的收敛半径: 解 解 所以 例4 求 的收敛半径. 例5 把函数 表成形如 的幂 级数, 其中 是不相等的复常数 . 解 把函数 写成如下的形式: 代数变形 , 使其分母中出现 凑出 级数收