复变函数论第三版钟玉泉PPT第4章.ppt

1. 复数列的极限 一、幂级数的敛散性 第三节 解析函数的泰勒展式 1、泰勒(Taylor)定理 2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况 3、一些初等函数的泰勒展式 3. 一些初等函数的泰勒展式 1. 解析函数的零点及其孤立性 零点的孤立性 3. 最大模原理 定理4.17 不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为: 其中 (4.14) 在点a的邻域|z-a|R内解析,且 证 必要性 由假设， 只要令 即可。充分性是明显的。 复变函数 华中科技大学数学与统计学院 * 复变函数 华中科技大学数学与统计学院 * * 第一节 复级数的基本性质 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数 1、复数列的极限 第四章 解析函数的幂级数表示 定义 记作 复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N, 证 从而有 所以 同理 反之, 如果 从而 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 例1 解 定理：复数列收敛的Cauchy准则 2. 复数项级数的收敛与发散 定义 表达式 称为复数项级数. 称为级数的部分和. 若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即 则称复数项无穷级数(4.1)收敛 于s,且称s为(4.1)的和,写成 否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数 (4.1)为发散. 定理4.1 设 ??n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: 分别收敛于a及b. 复数项级数收敛的条件 实数项级数 注：复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数 的审敛问题 分别收敛于a及b? 例1 级数 是否收敛？ 例2 级数 是否收敛？ 推论2 收敛级数的各项必是有界的. 推论1 收敛级数的通项必趋于零: (事实上，取p=1,则必有|an+1|ε)． 推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散. 定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε0,存在正整数N(ε),当nN且p为任何正整数时 |?n+1+ ? n+2+…+ ? n+p|ε 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数 收敛. 定义4.2 若级数 收敛,则原级数 称 为绝对收敛;若级数 发散，而级数 收敛,原级数称为条件收敛. 3. 绝对收敛与条件收敛 事实上， 定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任 意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和. 它收敛于 . (2)两个绝对收敛的复级数 可按对角线法得到乘积级数 例2 级数 是否绝对收敛？ 例1 级数 绝对收敛,且有 解 因为 定义1 设复变函数项序列 f1(z)，f2(z)，f3(z)，…，fn(z)，… (*) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,序列(*)均收敛于f(z),则称f(z)为序列(*)的极限函数,记为: 4. 一致收敛的复函数项序列 定义2 对于序列(*),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε0,存在正整数N=N(ε),当nN时,对一切的z∈E均有 |f(z)-fn(z)|ε,则称序列(*)在E上一致收敛于f(z)，记作: . 定义4.3 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: 5. 一致收敛的复函数项级数 定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε0,存在正整数N=N(ε),当nN时,对一切的z∈E均有 |f(z)-sn(z)|ε,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z)，记作: ， 其中 定理4.5 (柯西一致收敛准则) 级数(4.2)在点集E上 一致收敛于某函数的充要条件是: 任给的ε0, 存在正整数