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网络的其他静态特征 网络结构熵 节点Vi的重要程度可以定义为 而网络结构熵则定义为 特征谱 矩阵A或L特征值的集合，是图的所有特征值连同其重数构成的重集。 富人俱乐部系数 Thank You! Company Logo LOGO 复杂网络基础理论 网络科学理论发展的三个时期 规则网络理论阶段 随机网络理论阶段 复杂网络理论阶段 复杂网络的概念 复杂网络的特性 复杂网络的概念和特性 1.系统和网络 2.复杂性 3.复杂系统 4.复杂网络 复杂网络的概念 复杂性 小世界特性 无标度特性 超家族特性 复杂网络的特性 IP地址网 朋友关系网 概率论基础 数理统计基础 统计假设及检验 一元线性回归分析 数理统计基础 图的基本概念 图的路和连通性 图的基本运算 树与生成树 图的矩阵表示 图论的基本概念 复杂网络的研究内容和意义 研究的主要内容包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等。 主要研究工作包括以下几个方面： 1.网络的结构和性质 2.网络宏观性质的微观生成机制（网络建模） 3.网络上的动力学行为和网络本身的动力学行为 4.复杂网络的应用 5.复杂网络领域的挑战性问题 复杂网络的研究意义 以复杂网络的形式来研究复杂系统，可以加深人们对复杂系统结构上的深入了解。利用复杂网络的研究成果，也可以更加深刻的认识自然界和社会上的复杂性，对于我们认识自然界和社会上的各种现象和事件有着重要意义。复杂网络的研究为我们提供了一种复杂性研究的新视角、新方法，并且提供了一种比较的视野，使得我们可以对各种真实网络进行比较、研究和综合概括。因此，复杂网络研究无论在理论上还是实际应用中都有着重要意义。 第二章 网络拓扑结构与静态特征 静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统计平均值。 在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将分开讨论无向、有向与加权网络。 网络的基本静态几何特征 平均距离 集聚系数 度分布 实际网络的统计特征 平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小，计算公式为 对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简化为 集聚系数 对于无向网络中节点Vi集聚系数定义为 C=2Mi／［ki（ki－1）］ 对于有向网络来说集聚系数为 C=Mi／［ki（ki－1）］ 根据邻接矩阵求集聚系数公式为： 度分布 大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分布的。定义P（k）为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比率。 规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中 在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。 完全随机网络：度分布具有Poisson分布的形式，每一条 边的出现概率是相等的，大多数节点的度是基本相同的。 无标度网络：具有幂指数形式的度分布：P（k）∝k?γ 。 指数度分布网络： P（k）∝e?k/к，式中к＞0为一常数。 累积度分布 若度分布为幂律分布，即P（k）∝k?γ，则相应的累积度分布函数符合幂指数为γ－1的幂律分布 若度分布为指数分布，即P（k）∝e?k/к，则相应的累积度分布函数符合同指数的指数分布 实际网络的统计特征 无向网络的静态特征 联合度分布 联合度分布定义为从无向网络中随机选择一条边，该边的两个节点的度值分别为k1和k2的概率，即 度度相关性 度－度相关性描述了网络中度大的节点和度小的节点之间的关系。若度大的节点倾向于和度大的节点连接，则网络是度－度正相关的；反之，若度大的节点倾向于和度小的节点连接，则网络是度－度负相关的。 集聚系数分布和聚－度相关性 集聚系数分布 集聚系数分布函数P（C）表示从网络中任选一节点，其集 聚系数值为C的概率 式中，δ（x）为单位冲激函数。 聚－度相关性 局部集聚系数C（k）定义为度为k的节点的邻居之间存在的平均边数＜Mnn（k）＞与这些邻居之间存在的最大可能的边数的比值，即 局部集聚系数C（k）与k的关系刻画了网络的聚－度相关性 介数和核度 介数分为节点介数和边介数两种，反映了节点或边在整个网络中的作用和影响力。 节点的介数Bi定义为 边的介数Bij定义为 介－度相关性可以用B（k）～k表示