多元统计分析 第二讲.ppt

zf zf 预备知识 线性代数中的有关概念、定理 矩阵的概念 方程组求解 二次型 特征值与特征向量 一、矩阵的概念 矩阵的定义以及计算 矩阵的定义：n*m阶矩阵、n阶方阵、列向量、行向量、 对角阵、对角线元素、非对角线元素、单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵、三角阵、上三角阵、下三角阵 矩阵运算：矩阵的加法、常数与矩阵的积、矩阵的乘法、 矩阵的运算规律 矩阵的行列式：行列式的定义行列式的性质 逆矩阵 定义、矩阵可逆的充要条件、逆矩阵的性质 *矩阵的迹、矩阵的秩：定义、性质 正交矩阵与正交变换 正交矩阵定义、性质；正交变换 分块矩阵 分块矩阵定义、利用分块矩阵求逆 非奇次线性方程组有解的充要条件 系数矩阵与其增广系数矩阵同秩 解法１：消元法 解法２：求解求逆并行变换法 例 例 三、二次型 二次型的矩阵表达式 正定二次型以及正定矩阵 正定矩阵的性质 二次型的矩阵表达式 定义：设有实二次型f(x1,…,xn)=xTAx，如果对任意的x?0，都有 f(x1,…,xn)=xTAx0 称f 为正定二次型;相应的矩阵A称为正定矩阵，记为 A0; ；若对任意x?0都有f0,称f为负定二次型,相应的矩阵A称为负定矩阵；若对任何 x?0 都有f ≥0，称f为半正定二次型，若f≤0，称f 为半负定二次型，相应的矩阵A分别称为半正定、半负定矩阵. 定理2 f(x1,…,xn) =xTAx正定(或A０)的充分必要条件是标准形的n个系数均为正. 推论1 f=xTAx正定（或A０）的充分必要条件是 正惯性指数等于n. 推论2 f=xTAx正定（或A０）的充分必要条件是A 的特征值都大于零. 推论3 f=xTAx正定（或A０）则?A?0. 定理3 二次型f(x1,…,xn) = xTAx正定(或A０)的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零,即 正定矩阵的性质 正定矩阵一定是非奇异的。 正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。 若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。 四、特征值与特征向量 特征值、特征向量的定义 特征值的性质 实对称矩阵特征值的求解方法 特征值的性质 步骤如下 (i)求出特征方程?λE–A ?=0的全部根 λ1,λ2,…, λn, 即A的全部特征值； (ii)对每个λi ,求方程组( λiE–A )x = 0 的所有非零解即为A的对应于特征值λi 的特征向量. 例 解 总体与样本 总体 样本、样本均值、样本方差 参数估计 假设检验 几种常用分布的关系 总体与样本 总体 所有调查研究的事物或现象的全体叫总体。反映总体数量特征的是总体统计指标，如总体均值，总体方差等。总体可划分为有限总体和无限总体。 样本 在总体中抽取出来的一部分个体的集合称为样本。反映样本数量特征的指标称为样本指标，如样本均值、样本方差等，样本指标的用途在于推断总体指标。 参数估计 几种常用分布的关系 假设检验：检验某种假设是否成立 多维随机向量的均值向量 多维随机向量的自协差阵与协差阵 随机向量均值与协差阵的性质 随机向量的相关阵 * cxt * 二、方程组求解 解 正定二次型以及正定矩阵 实对称矩阵特征值的求解方法 (ii) 数理统计中的有关概念、定理 * cxt