多维标度法汇报学习.ppt

10个城市的坐标分别为： （-718.759，142.9942），（-382.056，-340.84），（481.602，-25.285），（-161.466，572.77），（1203.738，390.100），（-1133.53，581.907），（1072.24，-519.024），（1420.603，112.589），（1341.723，-579.739），（-979.622，-335.473）。 计算结果表明，较大的特征值有两个，说明在二维平面上表示10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零，表明距离阵不是欧氏型，其结果为拟合构图。在此，城市是“对象”，飞行里程是“相似性”。图10.1给出了MDS反映美国10座城市相对位置的感知图。图中的10个点，每个点代表一个城市，相近的点代表飞行距离短的城市，相距较远的点代表飞行距离远的城市。 图10.1 10城市坐标感知图 相关系数的值越大，表示课程越相似，相关系数值越小，表明课程越不相似，显而易见，相关系数矩阵为相似系数矩阵，记为C。 表10.3 6门课程相关系数阵 根据变换（10.8）式可得到距离阵D，见表10.4。在此基础上，根据（10.5）式得到内积矩阵B，具体结果见表10.5。 表10.4 距离阵D 表10.5 内积矩阵 从结果知距离阵D不是欧氏型，我们取r=2，由（10.7）式求得D的古典解，结果如下： 图10.2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观的看出，算术、代数、几何较为相近，英语和盖尔语较为相近，而历史课程与其他课程的差异性较大。 图10.2 六门课程的古典解感知图 在实际问题中，我们涉及更多的是不易量化的相似性测度，如两种颜色的相似性，虽然我们可以用1表示颜色非常相似，10表示颜色非常不相似，但是这里的数字只表示颜色之间的相似或不相似程度，并不表示实际的数值大小，因而是定序尺度，这时是由两两颜色间的不相似数据? ij形成“距离”矩阵。对于非度量的不相似性矩阵，我们如何进行多维标度分析呢？假定有一个n个对象的不相似矩阵(? ij)n ?n ，要寻找n个对象的一个r维拟合构造点X。下面介绍Kruskal的非度量MDS分析方法。 为了寻找一个较好的拟合构造点，我们可以从某一个拟合构造点开始，即先将n个对象随意放置在r维空间，形成一个感知图，用Xi =(Xi 1，Xi 2，…，Xir) ′表示i对象在r维空间的坐标，对象i与j在r维空间的距离为 : 也就是说，S应力是将（10.9）式中的dij和 用它们的平方代 表后所得到的量度。S应力的值介于0和1之间。典型的情况 是：此值小于0.1意味着感知图是n个对象的一个好的几何表示。 在非度量MDS分析过程中，另一个需要解决的问题是感知图 空间维数r的确定。我们可以制作应力-r图确定感知图的维数 r 。从前述可知，对每一个r ，可以找到使应力达到最小的点 结构。随着r的增加，最小应力将在运算误差的范围内逐渐下 降，且当r =n-1时达到零。从r ＝1开始，可将应力S（ r ）对 r作图。这些点随r的增加而呈下降排列。若找到一个r ，上述 下降趋势到这一点开始接近水平状态，即形成一个“肘”形 曲线，这个r便是“最佳”维数。 非度量MDS虽然是基于非度量尺度数据的分析方法，但是， 当定量尺度的距离阵中的数据不可靠，而距离大小的顺序可 靠时，采用非度量MDS比度量MDS得到的结果更接近与实际。 以上我们的讨论都是以单个“距离”阵数据出发进行的，但在实践中，往往需要确定多个距离阵数据的感知图，比如由10个人分别对5种饮料进行两两相似评测，结果就会得到10个相似性矩阵，那么，我们如何根据这10个人的评测结构得出5种饮料的相似性感知图呢？显然，按照古典多维的方法，我们只能是每一个相似性矩阵确定一个感知图，10个人分别确定10个感知图。但是，往往我们想要得到的是这10个人共同的一个感知图而非10个。这一节将介绍由Carroll和Chang提出的解决这类问题的多维标度方法——权重多维标度法（WMDS）。基础权重多维标度法也称权重个体差异欧氏距离模型。 第一节 引 言 第二节 古典多维标度法(Classical MDS) 第三节 权重多维标度(WMDS) 在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它