大一高等数学第十一章第一节常数项级数.ppt

无穷级数 一、问题的提出 级数的概念 基本性质 二、正项级数及其判敛法 正项级数及其审敛法 三、任意项级数 绝对收敛与条件收敛 四、小结 收敛 发散 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 级数收敛. 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 解 原级数收敛. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 证明 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 常数项级数的基本概念 基本审敛法 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 思考题 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 1. 级数的定义: (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 级数的部分和 2. 级数的收敛与发散: 余项 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”． 观察雪花分形过程 第一次分叉： 依次类推 播放 周长为 面积为 第 次分叉： 于是有 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）． 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 证明 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 证明 级数收敛的必要条件: 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 讨论 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散. 1.定义: 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: 定理 部分和数列 为单调增加数列. 证明 即部分和数列有界 3.比较审敛法 不是有界数列 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 解 由图可知 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 证明 4.比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; (3) 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 解 原级数发散. 故原级数收敛. 证明 * *