大学微积分第二节 函数的极限.ppt

函数与极限 二、自变量 有限值时,函数 的极限 三、函数极限的性质 四、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 思考题 【数列极限】 —— 整标函数 【函数的极限】 有 两大类情形 一、自变量x→∞时, 的极限 1.【精确定义】 ①如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在着正数X ，使得当|x|X 时，恒有|f (x) -A|ε 成立，则称 x 趋于无穷大时函数 f (x) 以A为极限。记为： ②【“ε- X ” 定义】—分析定义 ③ x→+∞及x→-∞情形 【定理】 2.【几何意义】 【例1】 【证】 5.【水平渐近线】 1.【引例】 ① 函数 在 处的极限为 ②函数 在 处的极限为 ③函数 在 处的极限为 ２ ２ ２ y A x １ ２ ３ x→x0时函数f(x)的极限是否存在,与f(x)在x0处是否有定义并无关系. 结论 它是在 的过程中实现的 【问题】 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 2.【直观定义】 3.【精确定义】 ② “ε -δ”定义 ①设f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e 0, 总存在 d 0, 使得当0|x-x0 |d , 恒有|f (x) -A|e成立，则称x→ x0时函数f (x)以常数 A为极限，记为 【注意】 意味着 （但不是函数关系，因δ不唯一） 4.【几何意义】 【例2】 【证】 【例3】 【证】 【例4】 【证】 函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性 5.【单侧极限】 【例如】 ①【左极限】 ②【右极限】 【注意】 左右极限存在但不相等, 【例6】 【证】 ③【极限存在定理】 1.【唯一性】 【注】以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。 【证明】（略）（自证） 【定理2】 【证】 有 则定理2得证 2.【局部有界性】 3.【局部保号性】 【证】 有 【证完】 容易推得下面更强的结论： 【定理3 】 ③【定理3*】 【补证】 有 （1） 由（1）式得 【推论】 【证明】 利用定理3反证之（略）. 由（1）式得 【证完】 4.【子列收敛性】(函数极限与数列极限的关系) ①【定义】 ②【定理4】 【分析】 【证】 【例如】 【证完】 综合上述画线部分即得 函数极限与数列极限的关系（海因定理） 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 【说明】 常用海因定理来判断函数在某变化过程 中的极限不存在 ③【推广】 ［方法一］： 找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等. 或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在. ［方法二］： 【例7】（补） 【证】 二者不相等, 【补充练习】 【解】 验证 不存在 取 和 但 由海因定理 故原极限不存在 令 【数列、函数极限的统一定义】 (见下表) * *