大学概率 第7章.ppt

第七章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差和标准差 第三节 协方差和相关系数 第四节 切比雪夫不等式及大数律 第五节 中心极限定理 例3.3 已知(X,Y)的联合分布律为 试求Cov(X,Y)。 1 5/12 7/12 P{Y=k} 1/2 1/6 1/3 1 1/2 1/4 1/4 0 P{X=k} 1 0 X Y 2、协方差的性质 例3.4 已知(X,Y)的概率密度函数为 试求D(2X±3Y)。 注：相关系数是反映X和Y相互关系的一个无量纲的特征量。 定义3.2 设(X,Y)为二维随机变量, D(X), D(Y), Cov(X,Y)分别为X,Y 的方差与协方差, 则称 为随机变量X与Y的相关系数。 二、相关系数 1、相关系数定义 例3.5 已知(X,Y)的概率密度函数为 试求?XY 2、相关系数的性质 注: |?XY|=1, 称之为X与Y完全相关, 充要条件是存在常数a, b, 使P{Y=aX+b}=1。 10 |?XY|?1 于是?XY成为一个表征X, Y间线性关系紧密程度的量, 当|?XY|较大时, 表示X, Y线性相关程度较高, 反之较低。 20 若X,Y相互独立, 且D(X),D(Y)0, 则?XY=0。 注: 若X,Y的相关系数?XY=0, 则称X与Y不相关。 性质2表明X,Y相互独立时, X与Y不相关; 反之, 若X与Y不相关, 则X,Y不一定相互独立(见下例)。 1/3 1/3 1/3 pk 1 0 –1 X 例3.6 设X的分布律为 但, 当(X,Y)服从二维正态分布时, X,Y不相关与X,Y相互独立是等价的。 这是因为, 当(X,Y)服从二维正态分布N(?1,?2,?12,?22,?)时, X与Y相互独立的充要条件是?=0。 令Y=X 2, 显然X与Y不独立, 但X与Y 是不相关的 3、协方差矩阵 定义3.3 若n维随机变量(X1,X2,…,Xn)各分量的协方差 为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵。 注：由协方差的性质知 例3.7 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为 试求X与Y的相关系数?。 一、切比雪夫不等式 设X为一随机变量，其均值E(X)=?，方差D(X)=?2，则对于任意正数? 0，有 证: 不妨设X为连续型随机变量, 其概率密度为f(x), 则 二、常用的大数定律 1、贝努利大数定律 定理4.1 设X1,X2,…独立同分布，且E(Xk)=?，方差D(Xk)=?2，k=1,2,…，则对于任意正数?0，有 2、贝努利大数定律的特殊情形 定理1.1 设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率, 则对于任意正数?0, 有 3、切比雪夫大数定律 定理4.3 设X1, X2,…是相互独立的随机变量序列, 其期望和方差都存在, 且存在常数C, 使D(Xk)?C, k=1,2,…, 则对于任意正数?, 有 一、问题的引入 实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用，所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并且它们中每一个对总和产生的影响不大。 问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的，研究其概率分布情况。 由于 Y的分布律为 例1.11 设点(X,Y)在正方形D={(x,y)|0?x?1,0?y?1}上随机取值, 试求E(X2+Y2)。 解: 依题意, (X,Y)服从D上的均匀分布, D的面积为1, 则其联合概率密度为 三、数学期望的性质 1、(线性法则) 设X为随机变量, 其期望为E(X), 对任意常数a, b, 有 E(aX+b)=aE(X)+b 例1.12 设X的分布函数为 特别地, 当a=0时, E(b)=b, 即常数的期望为其本身; 当b=0时, E(aX)=aE(X)。 2、(加法法则) 设X,Y为随机变量，同为离散型或连续型，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 例1.13 将n个球随机地放入M个盒子中，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。 3、(乘法法则) 设X,Y为同类型随机变量，且相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y) 推广：若X1,X2,…,Xn是相互独立的随