大学概率论4.ppt

性质2说明了D(-X)=D(X) * 例：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率。 * 表1 几种常见分布的均值与方差 数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布 0－1分布 p p(1-p) 二项分布b(n,p) np np(1-p) 泊松分布 均匀分布U(a,b) 指数分布 正态分布 * * 几个与期望及方差有关的练习题 1、设X的数学期望E(X)=2,方差D(X)=4,则E(X2)= ； 2、设X~ B(n,p),已知E(X)=1.6 , D(X)=1.28,则 n= ; P= ; 3、设X~ P(λ)，且P(X=1)=P(X=2),则E(X)= , D(X)= ; 小结(方差计算) 定义法：函数的数学期望 方差的性质 常用公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2 X分解成数个相互独立的随机变量之和，利用D(X)=D (X1 +X2+…+Xn)= D (X1)+ D (X2)+… +D (Xn)” 根据题型，以上方法可能独立使用，也可能结合使用。 * §3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。 定义： * * 协方差的计算 证(2): 注: X,Y相互独立 协方差的性质 思考 * * 证明4)：利用 * 例1、设(X,Y)的分布律为： 0 1 0 1-p 0 1 0 p 求COV(X,Y). 0 1 0 1-p 0 1 0 p * 0 1 0 1-p 0 1 0 p * 易知: X 0 1 Y 0 1 E(X)=p E(Y)=p * 例：设(X,Y)的概率密度为： * X Y 1 1 D 0 * 相关系数的性质 线性关系 * 相关系数的意义 相关系数是描述了X与Y线性相关程度 X,Y不相关(弱) X,Y相互独立(强) (没有线性关系） (没有任何关系） 可能会有别的关系，如二次关系。 小结(公式) * 例：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|????X|?=|Y|? )=0,判断X和Y是否不相关？是否不独立？ * * 例 * * * 例：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y, V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？ * * 例：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y, V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？ §4 矩、协方差矩阵 * * 数学期望是一阶原点矩， 方差是二阶中心矩， 协方差是二阶混合中心矩。 * * * n维正态变量具有以下四条重要性质 * * 方差可以认为是噪声 例：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接 组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解： 根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N). * 例：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。 解：X的分布律为： * 例：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数， 设Y表示一周内所获利润，则 * 例： * 例： * 几种重要分布的数学期望 * * * 例：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截面面积S的数学期望。 * 例： * 例：设随机变量(X,Y)的概率密度为： X=1 * * 数学期望的性质 可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 * 证明： 下面仅对连续型随机变量给予证明： * * * 例：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就