大数定律及中心定理 第4节.ppt

第四章 大数定律与中心极限定理 * 第*页 §4.4 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布, 指出极限分布为正态分布. 4.4.1 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 定理4.4.1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为?, 方差为 ?20，则当 n 充分大时，有 应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析 补例 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为： = 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小) 补例 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. X P 10 9 8 7 6 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布， 且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故 = 0.99979 4.4.3 二项分布的正态近似 定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设?n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有 是林德贝格—勒维中心极限定理的特例. 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (1) 中心极限定理的应用有三大类： 注 意 点 (2) ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n . i) 已知 n 和 y，求概率； 一、给定 n 和 y，求概率 例4.4.5 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解：用 由此得： Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9. 二、给定 n 和概率，求 y 例4.4.7 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产? 解：用 设供电量为y, 则从 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 中解得 三、给定 y 和概率，求 n 例4.4.8 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解：用 根据题意 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 从中解得 Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。 又由 可解得 n = 271 补例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01) ＝0.17635 (2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 X 5.5) = 0.1742 4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理 定理4.4.3 林德贝格中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 ? 0，有 林德贝格条件 则 李雅普诺夫中心极限定理 定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 ? 0，满足： 李雅普诺夫条件 则 林德贝格条件较难验证. 例4.4.9 设 X1, X2 , …. , X99相互独立, 且服从不同的 0--1分布 试求 解: 设 X100, X101, ….相互独立, 且与X99同分布, 则可以验证{Xn}满足? =1的李雅普诺夫条件，且 由此得 * * * * * * * * * * * * * * 第四章 大数定律与中心极限定理 * 第*页 * * * * * * * * * * * * * *