天津大学概率论课件,概率5.ppt

* * * 0 1 2 0.05 0.8 0.15 * * * * * * 作 业 第五章习题 第126-127页 1， 5， 6， 8， 9， 12 * * * * 当然这个估计是很粗糙的。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 大数定律 及中心极限定理 第五章 本章要解决的问题 * * 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4.大样本统计推断的理论基础 是什么？ 大数定律 中心极限定理 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 一、大数定律 主要： (1) 频率稳定性 (2) 大量测量结果算术平均值的稳定性。 定理 设随机变量X的数学期望E(X)=? , 方差D(X)=?2, 则对任意的正数?，有 --------切比雪夫(chebyshev)不等式． 切比雪夫不等式 证明:（X为连续型） 设X的概率密度为f(x)，则 (1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件 |x-μ|ε的概率的一种估计方法。例如: (2) 切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε, E(X)+ε)之内。 意义：切比雪夫不等式 (3)可以证明方差性质（P136） 例1一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件 在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生 故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机 变量X与其数学期望的偏差（若不对称？P135 例5.1） （a）小于2；(b)不小于2的概率． 解 （a）由题意知X~b(10, 0.05)，且 由切比雪夫不等式，得 E(X)=0.5 D(X)=0.475 (b)  性质：设 则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ， 记为: 若对任意正数?，有 定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列,a是常数. , g(x, y)在点(a, b)连续, 则 定理1 （辛钦大数定理）设随机变量序列 X1,X2,…,Xn,...相互独立同分布，数学期望 E(Xk)=? (k=1,2,...) , 则对任意 即 的? 0,有 【注】 辛钦大数定理不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 证 由切比雪夫不等式 即 推论1（伯努利大数定律）设nA是n 次独立重复试验中A发生的次数.p 是事件A在每次试验中发生的概率, 则对任意? 0,有 因而 E(Xk)=p， (k=1,2,...),由辛钦大数定理 证: 因为 有 即 1. 伯努利大数定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性. 【注】 2.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 在实际应用中，当试验次数很大时，往往 用事件发生的频率来代替事件的概率． 二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常需考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 瞄准时的误差， 如空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 现在我们研究独立随机变量之和的规律性问题： 1.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？ 2.在什么条件下极限分布是正态分布？ 3. 考虑n个随机变量之和的标准化的随机变量 的分布函数的极限. 定理1 设随机变量X1,X2,…,Xn,… 相互独立,服从同一分布,且 E(Xk)=?，D(Xk)=?2?0 (k=1,2, ...) ,　则 定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布. 的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有 (证明