实验优化设计 第9章 建立数学模型.ppt

9 建立数学模型 * * 建立数学模型含有双重任务：一是确定函数形式；二是求取公式系数。 ○数学模型概念 日常生活中有建筑模型、飞机模型、汽车模型等。 所谓模型都反映了实物某一(或某些)方面的特征性，即模型既是实物的反映，又不完全等同于实物。 模型和实物仅仅在某一(或某些)特性方面具有相似性或等效性。 如果过程的特征性用数学方程的形式表达出来，那么这样的数学表达式就称为该过程的数学模型。 数学模型就是一个或一组反映过程特征的数学方程。数学模型简称数模。 9.1 寻求数学模型函数形式的方法 ◇由“实验理论”推导 ◇专业累积经验决定 ◇实验曲线的形状来决定 9.1.1 由实验理论推求数模的函数形式 化工对流传热过程分析中，因次分析法成为建立给热系数经验关系式的重要方法。 在化工搅拌器放大过程中，相似分析或准数放大成为常用的手段。 ① 变量的无因次化 ※简述一下因次分析法原理 因次分析的依据是方程的齐次性（即因次的一致性）。 例如SI制中以质量、长度和时间为基本因次，速度的因次按其定义式可由长度和时间组成，其因次为长度/时间，以［L/T］表示。力的因次，则按牛顿定律由质量和加速度组成，其因次为质量?长度/时间2，以［MLT-2］表示。速度和力的因次都是导出因次。 任何物理方程都由物理量组成，任何物理量都有一定的因次。 因次（或称量纲）有两类： 一类是基本因次，它们是彼此独立的，不能相互导出，必须人为地设定； 另一类是导出因次，由基本因次导出。 在力学领域内基本因次有3个，通常为时间T，长度L，质量M。任何力学的物理量的因次都可以由这3个因次组成。 现设在力学领域内表达某物理过程的函数式为 f(Q1, Q2, …, Q7)=0, 其中Q1至Q7为描述此过程的7个变量。 不难证明，Q1的因次也可由Q5、Q6、Q7的因次组成，也就是可以组成无因次数群 根据因次一致性原理，应有相互独立的线性方程组： 因次［T］： a5x1+a6y1+a7z1=a1 因次［L］： b5x1+b6y1+b7z1=b1 因次［M］： c5x1+c6y1+c7z1=c1 由此定能解出系数 x1、y1、z1。 Q1、Q5、Q6、Q7的因次分别为 现选取其中3个（例如Q5、Q6、Q7）作为初始变量，只要这三个变量因次互相独立，即它们之间不能组成无因次数群，就可以按下述方式将其余变量无因次化。现以变量Q1的无因次化为例加以说明。 用同样的方法可使变量Q2、Q3、Q4无因次化。于是可得无因次数群  (i=1, 2, 3, 4) 这样，因次分析给我们提供了一个变量无因次化的方法。 ② 待求函数的无因次化 函数式f(Q1, Q2, …, Q7)=0中以 代入，则函数形式将变化为 f1(π1, Q2, …, Q7)=0 类似地变量Q2、Q3、Q4也可用数群π2、π3、π4与Q5、Q6、Q7来表示，函数式成为 f2(π1,π2,π3,π4, Q5, Q6, Q7)=0 由于所选变量Q5、Q6、Q7的因次彼此独立，从物理方程各项因次必须相同的条件可知，该式中不应再出现单个的物理量Q5至Q7，它们对过程的影响应当已包含在π1至π4的无因次数群中。于是过程的函数式可写成 F(π1,π2,π3,π4)=0 以上过程表明，由函数式f变成无因次数群式F时，变量数减少了3个，由此可以引出著名的π定理。 π定理：任何物理方程必可转化为无因次形式，即以无因次数群的关系式代替原物理方程，无因次数群的个数等于原方程的变量数减去基本因次数。 ③ 寻求准数关系式 无因次数群也叫准数。准数间的函数关系式主要由经验确定。对复杂问题常常采用幂函数乘积形式，如π1=(π2)a (π3)b (π4)c等。 专业经验是靠逐渐积累的。例如，化学反应速率(y)和温度(x)的关系，常用指数函数：y=a e-b/x。 对比较复杂的问题，常用多元线性方程： y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn 对单因素的复杂问题，可考虑采用n次多项式： y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 9.1.3 由实验曲线确定数模的函数形式 将实验数据标绘成曲线，根据曲线的形状和变化态势，对照各种典型函数的曲线形状来确定数模的函数形式。 9.1.2 由专业经验确定数模的函数形式 n次多项式数学模型的建立，包括n次数的确定和n+1个系数的确定。 下面将阐述n次数的确定方法。至于n+1个系数的确定问题，属于回归分析内容，可以参见第10章。 如果选取