射影定理讲课.ppt

* * 选修 4-1 几何证明选讲 四 直角三角形的射影定理 1.射影 （1）点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 （2）线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。 A′ A A N M N M A B A′ B′ 点和线段的正射影简称射影 新课 2.各种线段在直线上的射影的情况： A B A’ B’ l A l A A’ B B’ 如图,CD是 斜边AB上的高线 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。 A’ B’ B l o 则AC,BC在AB上的射影是什么? 1. 图中有几条线段？ 2. 图中有几个Rt△? 3．有几对△相似？ 4. 相似的两个三角对应边能得到哪些比例关系？ 思考 请同学们用文字叙述一下射影定理？ 结论： 3．射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项． （2）具体题目运用： 根据条件选取相应的乘积式 两直角边 斜边 斜边 射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高 [小问题·大思维] 如何用勾股定理证明射影定理？ 提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2， ∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2， 即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. ∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2， ∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB ＝AD(AD＋DB)＝AD·AB， 即AC2＝AD·AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD·AB， 即BC2＝BD·AB. (1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条． (2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条． 例3　如图所示，CD垂直平分AB， 点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足． 求证：AF·AC＝BG·BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形，然后分别利用射影定理求证． 1.(2014广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的 半径等于_____． B A C D O 4．Rt△ABC中有正方形DEFG， 点D、G分别在AB、 AC上， E、F在斜边BC上． 求证：EF2＝BE·FC. 3. 如图,在 中, C E A D F B 证明： 3 . 如图,在 中, C E A D F B 射影定理 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积（由面积得） 直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角形相似（母子相似定理） 小结 *