等腰三角形(第三课时).doc

12.3等腰三角形（第三课时） ◆随堂检测 1一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________. 2.如图 ，已知线段，分别以为圆心，大于长 为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结CQ与AB相交于点 D，连结AC，BC．那么： （1）∠________度； （2）当线段时， ______度，周长= 3 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=__________. ●拓展提高 1.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________. 2.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD. 4.如图，已知P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ．求：∠BAC的度数． 5.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小； （2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. 是等边三角形， 点是的中点，延长到，使， （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 参考答案： ◆随堂检测 1.解析：3条 根据三线合一性质 2.解析：（1）由两个三角形全等得∠CDA=∠CDB，又∠CDA+∠CDB=180得答案：90（2）由等边三角形判定可知这是个等边三角形，由三线合一得答案是：30 12 3.解析：要求AC的长，可连接AD，由DE是AB的垂直平分线，可知DA=DB，∠BAD=∠B=15°，所以∠ADC=2∠B=30°，在Rt△ACD中，便可求得AC的长. 解：连接AD. ∵DE是AB的垂直平分线， AD=BD=8. ∴∠DAB=∠B=15°. ∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°. ∵∠C=90°，∴ ●拓展提高 1.解析：等边三角形两条中线就是它的两条高、两条角平分线相交所成的锐角 答案：60度 2.解析：利用SAS可证三角形全等，答案B 3.证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE ∴在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD 4.解析：本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：(1)利用等边对等角得到相等的角；(2)利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；(3)或利用三角形内角和定理列方程． 解：∵ AP＝PQ＝AQ，∴ ∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°． ∵ AP＝BP，∴ ∠PBA＝∠PAB ∴ ∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60° ∴ ∠PBA＝∠PAB＝30°，同理得∠QAC＝30°． ∴ ∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30° ＝120°． 5.答案：解：（1）如图7. ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， ∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴ ∠4=∠5. 又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∴ ∠4=30°. 同理，∠6=30° ∵ ∠AEB=∠4+∠6, ∴ ∠AEB=60°（2）如图8. ∵ △BOC和△ABO都是等边三角形， ∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60° 又∵OD=OA, ∴ OD＝OB，OA＝OC， ∴ ∠4=∠5，∠6=∠7. ∵ ∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC ∵ ∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴ 2∠5=2∠6, ∴ ∠5=∠6 又∵ ∠AEB=∠8-∠5， ∠8=∠2+∠6， ∴ ∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2， ∴ ∠AEB＝60° 解析：这是一道变换条件但结论不变的变式题，其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目