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用函数观点看方程（组）与不等式 教学过程 知识点1 一次函数与一元一次方程 由于任何一元一次方程都可以化为ax＋b＝0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值。 【例1】利用函数图像解出x （1）3x－2＝x＋4； （2）5x－3＝7x＋1； 分析：先将方程化为ax＋b＝0的形式，再在坐标系中画出函数y＝ax＋b的图像，然后观察出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标，从而取定所求x的值。 图1 【解答】（1）由3x－2＝x＋4得2x－6＝0 由图1看出直线y＝2x－6与x轴的交点（3，0） 所以x＝3 （2）由5x－3＝7x＋1，得－2x－4＝0 由图2看出直线y＝－2x－4与x轴的交点为（－2，0） 所以x＝－2 图2 【解后感悟】利用函数图像解一元一次方程，一般需将方程变形为ax＋b＝0的形式，然后通过观察直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标确定方程的解。 【例2】如图3将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个在按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题： 操作的次数 1 2 3 4 5 … 正方形个数 4 7 10 13 16 … 当所操作的次数为多少时，得到的正方形的个数为25个？ 图3 【解析】可设未知数列方程解答。 【解答】解法1：设经过x次的操作后能得到的正方形的个数为25个，则依题意： 3x＋1＝25 解得x＝8 解法2：设经过x次操作后，能得到y个正方形，依题意得：y＝3x＋1 令y＝25，则有3x＋1＝25，即3x－24＝0. 由图4可看出直线y＝3x－24与x轴的交点为（8，0），得x＝8. 图4 【方法探究】虽然像这样用一次函数图像来解方程未必简单，但是从函数的角度看问题能发现一次函数与一元一次方程的联系，这种用函数的观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。 知识点2 一次函数与一元一次不等式 由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b0或ax＋b0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 【例3】画出函数y＝2x＋1的图像，利用图像求： （1）方程2x＋1＝0的根； （2）不等式2x＋10的解集； （3）当y3时，求x的取值范围； （4）当－33时，求x的取值范围； 【分析】此题必须先画出图像，再根据图像求解，通过解方程或不等式也能得到准确答案，但不符合题意要求，本题主要考察观察函数图像的能力。 【解答】函数y＝2x＋1是一次函数，取两点 x 0 y 1 0 连结A（0，1）、B（，0）两点，如图5，直线AB就是函数y＝2x＋1的图像。 图5 （1）直线AB与x轴的交点是B（ ，0） 从图像可以看出当x＝－时，y＝0即2x＋1＝0. －就是方程2x＋1＝0的解。 （2）从图像上可以看到，射线BA在x轴的上方，它上面的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x＋10. 射线BA上点的横坐标满足x， 不等式2x＋10的解集是. （3）过点（0，3）引平行于x轴的直线CC’，交直线AB于C，C的坐标为（1，3），直线CC’上点的纵坐标y均等于3，直线下方的点的纵坐标y均小于3，射线CD上点的横坐标满足x1. y时，x的取值范围为x. （4）过（0，－3）点作平行于x轴的直线，交直线AB于D（－2，－3）. 从图像中可见，线段DC上的点的纵坐标满足，而横坐标满足。 【解后感悟】本例（3）（4）也可以将y＝2x＋1代入中求相应的x的值与取值范围，这个事实说明：当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式。 知识点3 一次函数与二元一次方程（组） 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 【例4】利用函数图像解方程组. 【分析】由于二元一次方程的解可以看作是y关于x的一次函数图像上的点的坐标，所以方程组的解为两个一次函数图像的交点坐标，从而可通过画出两个一次函数图像，从图像上观察出交点坐标，得到方程组的解。 【解答】由x＋2y＝－3得； 由2x－y＝－1得. 在同一直角坐标系内作出一次函数的图像和y＝2x＋1的图像，如图所示： 观察图像的交点为P（－1，－1）. 所以方程组的解是。 【方法技巧】准确地将方程整理为函数解析式是基础；用两点确定直线的方法画一次函数图像，方程组的解直观地体