算法分析知识整理_48272.doc

Chapter 0 1. Big O O() 即 = 洛必达法则 一边有分母，一边无分母的，可以两边都先乘分母再比较，或再用洛必达法则 例：log n! =Θ(lognn) 因为(n/2)log(n/2)=log(n/2)n/2=logn!=lognn=nlogn 任何指数形式 任何多项式形式 任何多项式形式 任何对数形式 Chapter1 1.复杂度计算 Mod运算等于一个除法运算的复杂度 一般，计算复杂度，先看循环次数（注意以比特位n计算时，logN=n），再看循环内复杂度最高的那个运算 n位长数作加减运算，为O(n)，作乘除法运算为O(n2) 乘2，除2，相当于移位，是常数时间运算 2.计算mod mod和加减乘除运算规则相同，也有交换律、结合律、分配率、替换率 例如，21390 mod 31 = (25)x mod 31 = (32)x mod 31 = (1)x mod 31 = 1 若ax=1 mod N，则 a和x互为mod N下的模倒数，有模倒数的充要条件是a和N互质 例：求20 mod 79的模倒数 用辗转相除法，每个式子标记3个数（除系数外都标记） gcd（20，79） 79=3*20+19 gcd（19，20） 20=1*19+1 gcd（1，19） 19=1*19+0 gcd（0，1） 1=1-0 再逆代回去（逆代的每一步都找对应gcd时作标记的数，用余数代换，用被除数合并） 1=1-（19-1*19） 代换0然后合并1 =20*1-19 =20*（20-1*19）-19 代换1然后合并19 =20*20-21*19 =20*20-21*（79-3*20）代换19然后合并20 =83*20-21*79 故模倒数为83，又因模倒数必须在1至N之间，则为83-79=4 Chapter2 1.分而治之 Divide and conquer: T(n)=aT(n/b)+O(nd) 在递归中的每一层，将处理问题分为a个子问题（即子问题个数是上一级的a倍），而每个子问题处理时的对象（函数的输入）被分为b份（即对象大小为上一级的1/b），而每一步的复杂度为O(nd) 2.Master theorem: T(n)= O(nd) dlogba T(n)= O(ndlogn) d= logba T(n)= O(nlogba) dlogba Merge算法处理n个元素merge的复杂度为O(n) T(n/2)是执行了logn层递归，T(n/b)是执行了logbn层递归 Chapter3 1.DFS（有向图无向图都适用） Explore算法只对起始点可达的点visit，包括previsit和postvisit标记 Explore(v)会生成以v为根的子有哪些信誉好的足球投注网站树 DFS算法是对G中所有的点用explore for all v in V: if not visited(v) then explore(G ,v) DFS算法复杂度为O(|E|+|V|) 因为DFS中，previsit(v)时，对v为根的子有哪些信誉好的足球投注网站树为陌生的，而postvisit(v)时则对子树已完全熟悉，所以若u和v是祖先--孩子关系，则必有[pre(u)，post(u)]包含[pre(v)，post(v)]，否则u，v完全不相交，不可能出现部分相交的关系，如pre(u) pre(v)post(u)post(v) 2.DAG有向无环图 对有向图用DFS算法，若其生成的有哪些信誉好的足球投注网站树中有回边=该图存在环 DAG必有至少一个源（入度为0），和至少一个汇（出度为0），必可以线性化 凡DAG图问题，必先线性化 DAG图线性化方法一：用DFS算法后，对post number降序排序，post number越小越靠后 DAG图线性化方法二：从图中找一个源，删除它，不断重复该过程直至图为空 3.SCC强连通子图 u和v连通指从u-v有路径，同时从v-u也有路径可达 对无向图，连通子图个数就是其DFS算法中的有哪些信誉好的足球投注网站树的棵树 无向图作出连通子图的方法：在DFS算法中加个数组ccnum[v]赋初值为cc（cc=0），DFS过程中每调用一次explore则cc++，最后cc值为连通子图个数，有相同ccnum值的v即为一个连通子图 对有向图中所有互相连通的节点归为一个个强连通子图后（一个子图视为一个节点），有向图成为一个DAG图，该DAG图中的源称为源强连通子图，其汇称为汇强连通子图 Lemma1：对一个汇SCC内任意一节点用explore算法，可以刚好visit该子图内所有点（因为互相连通，且因为是汇，故不会visit该SCC以外的点） Lemma2：有向图的post number最大值必存在于其源强连通子图中 Lemma3：若有一条边是