算法合集之《半平面交的算法及其应用》_48278.doc

半平面交的算法及其应用 基本概念 半平面：平面上的直线及其一侧的部分，在直角坐标系中可由不等式ax+by+c=0确定。 在一个有界区域里（在实际计算时不妨设一个足够大的边界），半平面或半平面的交是一个凸多边形区域。 n个半平面的交H1∩H2∩…∩Hn是一个至多n条边的凸多边形。 算法 半平面交的联机算法 procedure intersection of half-planes 输入：n个半平面H1,H2,…Hn对应的不等式组aix+biy+ci=0，i=1,2,3…n 输出：H1∩H2∩…∩Hn 初始化区域A为整个平面 依次用直线aix+biy+ci=0，i=1,2,…n切割A，保留使不等式aix+biy+ci=0成立的部分 输出A 本算法的时间复杂度为O(n*n)，并具有联机的优点。 半平面交的分治算法 假设可以在O(m+n)的时间内将m个半平面的交和n个半平面的交合并，则可以有一种O(n*log(n))的分治算法求半平面的交。 Procedure intersection of half-plane (DC) 输入：n个半平面H1,H2,…Hn对应的不等式组aix+biy+ci=0，i=1,2,3…n 输出：H1∩H2∩…∩Hn 将H1…Hn分成两个大小近似相等的集合 在每个子问题中递归地计算半平面的交 合并两个凸多边形区域形成H1∩H2∩…∩Hn 所以问题的关键就是怎样在O(m+n)的时间里求两个凸多边形的交。 如左图所示，在O(m+n)的时间内将两个凸多边形沿平行于y轴方向切割成至多O(m+n)个梯形区域，每两个梯形区域的交可以在O(1)时间内解决。 为了便于操作，确定凸多边形采用了一种特殊的方法。可以看出凸多边形上方和下方的顶点分别构成了一个x坐标递增序列。将这两个序列中的顶点分别作为一个链表存储,得到确定凸多边形区域的上界和下界。 算法： procedure intersection of convex polygon 输入：两个凸多边形区域A、B 输出：C=A∩B 将两个凸多边形的顶点x坐标分类，得到序列xi,i=1…p 初始化区域C为空。 处理{x1} 依次处理区域(xi,xi+1],i=1…p-1。 4.1计算两个多边形在此区域里截得的梯形（可能退化），设为ABCD和 A’B’C’D’。 4.2求交点AB∩A’B’、AB∩C’D’、CD∩A’B’，将存在的点按x坐标排序，删除重复，添加到C的上界中。用类似的方法求C的下界 4.3计算此区域的右侧边界：EF=BC∩B’C’。将E、F分别加入C的上界和下界。 5.输出C 步1：由于A、B的上下界x坐标分别有序，可采用归并排序。复杂度O(m+n) 步4：由于是按照x递增的顺序扫描这些区域，每条边界上的指针在整个过程中始终向右移动。两个多边形的每个顶点至多扫描一次。复杂度为O(m+n)。 因此整个算法的时间复杂度为O(m+n)。 应用 问题1：Hotter and Colder (Waterloo local contest) 题目简述： A和B在10*10的棋盘上进行一个游戏。A确定一个点P，B每回合移动一次。每次A都会告诉B，他当前所处的位置是离P更近了(Hot)还是更远了(Cold)。（原题还要考虑距离不变的情况。） 请在A每次回答后，确定P点可能存在的区域的面积。 分析： 假设B从C（x1,y1）移动到了D(x2,y2)，A回答Hot。则对应这一回合，点P(x,y)所处的位置满足 |CP||DP|，即： (2*x2-2*x1)*x+(2*y2-2*y1)*y+x1*x1+y1*y1-x2*x2-y2*y20。 类似地，回答Cold对应于另一个不等式。 初始时可能的区域是[0,10]*[0,10]。每回合后都用相应的不等式对应的半平面与当前区域求交。并输出交的面积。 问题2：Milk (OOPC1) 题目简述： SRbGa有一块凸n边形面包，和一盆面积足够大但深度仅为h的牛奶。他想仅蘸k次（每次都保证面包垂直于盆底），使得面包蘸上牛奶的部分面积最大。 分析： 由于本题规模不大，考虑使用深度优先有哪些信誉好的足球投注网站。 蘸每条边都对应剩下的一个半平面，某种蘸k条边E1…Ek的方法，剩下的部分就对应于这k个半平面和原多边形的交。考察C(n,k)种蘸法，选其中剩下的面积最小的那种。 问题1是用几个半平面顺次求交，并且每次都要输出面积。显然采用联机算法合适。 问题2如果用联机算法，复杂度为O(C(n,k)*n)，且便于在有哪些信誉好的足球投注网站的过程中剪枝。如果用脱机的分治算法，复杂度为O(C(n,k)*(n+k*log(k)))。 问题3：Video (CTSC98) 题目简述： 已知一个多边形P（不一定是凸的） 问在P中是否存在点Q，在Q点能观察