计算机算法分析与设计 第2章_29043.ppt

第2章 递归与分治策略 学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分有哪些信誉好的足球投注网站技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。 算法总体思想 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。 2.1 递归的概念 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。 反复应用分治手段，可使子问题与原问题类型一致而其规模不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： m=0时，A(n,0)=n+2 m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2, 故A(n,1)=2*n m=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)=2n 。 m=3时，类似的可以推出 A(n,3)＝ m=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。 定义单变量的Ackerman函数A(n)为，A(n)=A(n，n)。 定义其拟逆函数α(n)为： α(n)= min{k｜A(k)≥n}。 α(n)是使n≤A(k)成立的最小的k值。 α(n)在复杂度分析中常遇到。对于通常所见到的正整数n，有α(n)≤4。 理论上α(n)没有上界，随着n的增加，它以难以想象的慢速度趋向正无穷大。 R的全排列可归纳定义如下： 分析：前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，易用递归函数直接求解。 本例若设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系。 解Hanoi塔问题的递归算法如下： 分治法的适用条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有： 分析：比较x和a的中间元素a[mid]， 若x=a[mid]，则x在L中的位置就是mid； 如果xa[mid]，则x在a[mid]的前面； 如果xa[mid]，则x在a[mid]的后面。 无论在哪部分查找x，其方法都和在a中查找x一样，只不过是查找的规模缩小了。这就说明此问题满足分治法的第二个和第三个适用条件。 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题; 分解出的子问题的解可以合并为原问题的解； 分析：很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在a[mid]的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。 分解出的各个子问题是相互独立的。 解法一: 原式等价于 T(n)=2T(n/2)+n 递推得: 2T(n/2)=2(2T(n/22)+n/2)=22T(n/22)+n T(n)= 22T(n/22)+2n 又有: 22T(n/22)=23T(n/23)+n 故 T(n)= 23T(n/23)+3n …………………. T(n)=2kT(n/2k)+kn 令k=logn，即n/2k=1 得： T(n)=nT(1)+nlogn=O(nlogn) 解法二: 原式等价于 T(n)=2T(n/2)+n 两边同除n得: 上述方程对2的幂的任意n是成立的. 递推得: 上述方程两端分别相加得: T(n)=n+nlogn=O(nlogn) 2.10 最接近点对问题 给定平面上n个点，找其中一对点，使得在n个点组成的点对中，该点对间的距离最短。 可能有多个解，只找一个。 普通做法O(n2) 下界?(nlogn) 寻找一个?(nlogn)时间的算法? 课后作业