函数的单调性_25609.ppt

函数的单调性 如果函数 在定义域的某个子集A上是增加的或是减少的，那么称 在这个子集上具有单调性. 例4.判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。 O x y 1 1 解： 函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数. 下面给予证明： 设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2 ∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数. y随x的增大而减小.当x1＜x2时，y1＞y2 y随x的增大而增大.当x1＜x2时，y1＜y2 数量特征 自左至右，图象下降. 自左至右，图象上升. 图象特征 图象 减函数 增函数 O x y x1 x2 y1 y2 O x y x2 x1 y1 y2 小结： * * * * 榆林市年生产总值统计表 年份 生产总值 （亿元） 榆林市高等学校 在校学生数统计表 年份 人数 （万人） 榆林市日平均 出生人数统计表 年份 人数（人） O x y O x y O x y 2 1 y O x O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y 函数f (x)在给定区间上是增加的。 O x y 如何用x与 f(x)来描述上升的图象？ 如何用x与 f(x)来描述下降的图象？ 函数f (x)在给定区间上是减少的。 O x y 函数单调性的概念： 1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意 称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 一般地，对于给定区间上的函数f(x)： 函数单调性的概念： 称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意 如果在区间A上 是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.在单调区间上，如果函数是增加的那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. 如果函数 在整个定义域内是增加的或是减少的，那么就称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数. -5 O x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 -1 -2 例:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数. 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1） [1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上 是减函数， 在[－2，1）， [3，5）上是增函数. 作图是发现函数单调性的方法之一. x y 2 1 o 单调递减区间： 单调递增区间： 证明： （条件） （论证结果） （结论） 图象法、定义法 判断函数单调区间的常用方法： 1.取值 用定义证明函数单调性的步骤： 即设x1,x2是该区间内的任意两个值，x1x2 2.作差变形 即作差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，最终化为几个因式乘积的形式。 用定义证明函数单调性的步骤： 3.定号 确定差f(x1)-f(x2)（或f(x2)-f(x1)）的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论。 4.判断 根据定义作出结论