正项数敛散性判别方法.docVIP

引 言 初等数学中，我们研究有限个实数相加，其结果是一个实数，如果延伸至无限个实数相加（无穷级数），其和是否存在？由于在实际应用中，往往是在给定的误差范围内，用部分和代替级数的和，因此判断级数的敛散性是要着力解决的问题.但用级数收敛、发散的定义来判别级数敛散性是十分困难的，因此有必要寻找判别级数敛散性的简单有效的方法.本文讨论正项级数的敛散性问题，并在教材的基础上加以进一步的研究. 判断正项级数的敛散性的主要方法有：定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法以及积分判别法六种方法.本文给出了这六种方法的证明.定义法是正项级数敛散性的基本判别法则；比较判别法常用几何级数、调和级数、P—级数作为与其它级数相比较的标准；比式判别法与根式判别法都是基于把正项级数与等比级数比较而得到的；拉贝判别法补充了比式与根式判别法的不足，但仍有其局限性；积分判别法有两种证明方法，一种放入无穷级数里处理，另一种放入定积分中处理，同时给出这种判别法的一个推广.另外，我们采用四种不同的方法讨论了P—级数的敛散性：一是利用P—级数的部分和是否有界来判别的，此法较为简单、直观；二是利用比较判别法来判别的，需要参照物作为比较，从而根据参照物的敛散性来判定P—级数的敛散性；三是利用积分判别法来判别的，需要微积分作为工具；四是利用积分判别法的推广来判别的，该推广比积分判别法有着更广泛的应用. 正项级数敛散性的判别法 设，则称级数为正项级数.正项级数的特点是部分和数列单调递增，而单调递增数列收敛的充分必要条件是该数列有上界，这一点正是正项级数收敛判别法的基础.其常用的性质是： （1）若级数收敛于，常数，则级数收敛于. （2）如果级数发散，常数，则级数发散. （3）添加或去掉有限项不改变级数的敛散性. （4）级数收敛的必要条件：. 下面着重讨论正项级数敛散性的判别法. 一 定义法 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界. 证明 如果正项级数的部分和数列有界，即存在正数，使，又单调增加，由单调有界数列必有极限的准则知，必有极限：，从而级数收敛且其和为. 反之，如果正项级数收敛于和，即有，由收敛数列必有界的性质知，级数的部分和数列有界. 例1.1 级数 的部分和为 就三种情况分别加以讨论. 命题1 当时，有界. 证明 由实数的性质，当 时，一定存在两个正整数、，且使得：，于是对于正整数，有 因此，对任何正整数，有 即有界. 命题2 当时，无界. 证明 由实数的性质，当时，一定存在两个正整数、，且，使得，于是对于正整数，有 因此，对于任何正整数，有 这样，当时，，即无界. 命题3 当时，无界.（此时级数为调和级数）. 证明 对于任意正整数、，有 由于上式对任意大的正整数都成立，所以 于是，对任何正整数，有 这样，当时，，即无界. 有了以上三个结论，再由正项级数收敛与发散的充要条件，立即得到：当时，级数发散；当时，级数收敛. 二 比较判别法 定理2 设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有：，那么 若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散. 证明 （1）由于级数前加上或去掉有限项不改变其敛散性，因此不妨设对一切自然数都有成立。令，，则有. 若收敛，其和为，则。即有界，由定理1，收敛。（1）成立； （2）为（1）的逆否命题，自然成立. 推论2.1 设和是两个正项级数， （1）若存在一个与无关的正常数，使当（固定），有，则从级数收敛可以断定收敛. （2）若当（固定）时，都有，，是一个与无关的常数，则从级数发散，可以断定级数发散. （3）若，使当时，有，则 （ⅰ）由收敛收敛； （ⅱ）由发散发散. 证明 （1）由收敛，可知（为正常数）也收敛. 当（固定）时，有，由比较判别法知也收敛. （2）由级数发散，可知（为正常数）也发散， 当（固定）时，，由比较判别法知也发散. （3）当时，，从而对，有 , 故 （）. 由于是常数，故当收敛时收敛，当发散时也发散. 推论2.2（比较判别法的极限形式） 设和是两个正项级数，若，则 （1）当时，级数和同时收敛或发散； （2）当且级数收敛时，级数也收敛； （3）当且级数发散时，级数也发散. 证明 （1）当时，由，对，存在某正数，当时，恒有 或 ， 由推论2.1中（1）（2）可知，当时，级数和同时收敛或发散。（1）得证. （2） 当时，由可知，当时,有，即.于是若级数收敛，则级数也收敛. （3）若，由可知对给定的正数，存在相应的正整数，当时，有或，于是由比较判别法知，若级数发散，则级数也发散. 例2