线性方程组迭代解法赖志柱.docVIP

第三章 线性方程组的迭代解法 教学目标： 1.了解线性代数方程组迭代解法的基本思想，向量序列和矩阵序列收敛的基本思想及相关定理； 2.掌握迭代法的构造思想、收敛性和速度（率）以及相关定理； 3.在理解Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理的基础上，掌握两种迭代法的计算步骤和相互关系，并掌握两种迭代法的收敛性相关定理。 4.初步了解超松弛（SOR）迭代法的基本思想。 教学重点： 1.迭代法的原理、基本思想和序列收敛的概念； 2.迭代法的构造、收敛和速率； 3. Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理、实现步骤和收敛性； 教学难点： 1.迭代法的构造、收敛和速率； 2. Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的原理、实现步骤和收敛性； 线性方程组的直接解法，用于阶数不太高的线性方程组效果较好。实际工作中有的线性方程组的阶数很高，用直接法求解效果不是很好。而迭代法与直接法不同，它是通过从某些初始向量出发，用设计好的步骤逐次计算出近似解向量，从而得到向量序列。一般的计算公式为 式中与有关，称为多步迭代法。若只与有关，即 则称为单步迭代法。现再设是线性的，即 其中，称为单步线性迭代法，称为迭代矩阵。若和与无关，即 称为单步定常线性迭代法。 迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法去求线性代数方程组的解。 迭代法的关键有： （1）如何构造迭代公式？ （2）迭代法产生的向量序列的收敛条件是什么？收敛速度如何？ §3.1 迭代法的基本概念 3.1.1 向量序列和矩阵序列的极限 为分析迭代法的收敛性，先讨论向量和矩阵序列极限的概念。中向量序列记为，在不引起混淆时就简记为。同理，中矩阵的序列记为或。 定义3.1 定义了范数的向量空间中，若存在满足，则称收敛于，记为。 不难看出，上述向量序列极限的定义形式上依赖于所选择的范数，注意到向量范数的等价性，若对一种范数而言收敛于，则可证明对其它范数而言也是收敛于的，这说明的收敛性与所选择的范数无关。 设，，若收敛于，且选用范数，则有 从而有 即等价于。向量序列的收敛性等价于由向量分量构成的个数列的收敛性，此时也称按分量收敛。 定义3.2 定义了范数的空间中，若存在使，则称收敛于，记为。 同理，的收敛性与所选择的范数无关，而且若记，，则有 ， 定理3.1 ，。 证明：必要性 只要注意到对任一种矩阵从属范数都有即可。 充分性 若取为单位向量，其第个分量为1，其它分量为零。则意味着第列各元素极限为零，依次取即可。证毕 下面讨论有矩阵的幂所构成的矩阵序列，即序列，其中。 定理3.2 设，则下面三个命题等价： （1）； （2），其中为的谱半径； （3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。 证明： 用反证法，假设有一个特征值，满足，则存在特征向量，使得。由此可得，当时向量序列不收敛于零向量，据定理3.1有不收敛于零矩阵，与命题（1）矛盾。 若，则，存在一种从属的矩阵范数，使，适当选择，便可使。 若，则由可得，从而。 定理3.3设，为任一种范数，则。 证明：由定理知，从而，而，所以有 ，对一切成立 另一方面，，记，显然有。由定理3.2有，所以存在，使得当时，有 即当时，而是任意的，即得定理结论。证毕 3.1.2 迭代公式的构造 设，，非奇异，满足方程组。如果能找到矩阵，向量，使可逆，而且方程组的唯一解就是的解，则可以从构造一个定常的线性迭代公式 （3.1） 给出，由（3.1）式可以产生，若它有极限，显然就是和的解。 定义3.3 若迭代公式（3.1）产生的序列满足 ， 则称迭代法（3.1）是收敛的。 从出发可以由不同的途径得到各种不同的等价方程组，从而得到不同的迭代法（3.1）。例如，设可以分解为，其中非奇异，则有 令，则有，这里的和依赖不同的分解方法。 3.1.3 迭代法的收敛性 设是的解，即有，用与其相减得 若记误差向量为，则有 由此可推得 其中与无关，所以迭代法（3.1）收敛就意味着 定理3.4 下面三个命题等价： （1）迭代法收敛； （2）； （3）至少存在一种从属的矩阵范数，使。 证明：从以上分析，命题（1）中迭代法收敛等价于，有定理3.1，上式成立的充要条件是，再由定理3.2即可。证毕 有时实际判别一个迭代法是否收敛，条件是较难检验的。由于，，等可以用的元素来表示，故我们可以考虑用，或来作为收敛的判定，这就是下面的定理： 定理3.5 设是方程的唯一解，是一种向量范数，对应的从属矩阵范数，则由（3.1）产生的向量序列满足 （3.2） （3.3） 证明：因为 所以有。因为，由定理3.4知迭代法是收敛的，。从可得是