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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类） 2013.4 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．为虚数单位，复数的虚部是 A． B． C． D . （2）已知集合，，则 A. B. C. D. （3）已知向量，.若，则实数的值为 A． B． C． D． （4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点, 为极点，则的 大小为 A． B． C． D． （5）在下列命题中， ①“”是“”的充要条件； ②的展开式中的常数项为； ③设随机变量～,若 ，则． 其中所有正确命题的序号是 A．② B．③ C．②③ D．①③ （6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 8 （7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 A. B. 1 C. D. 2 （8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有 A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）在等比数列中，，则 ，为等差数列，且，则 数列的前5项和等于 . （10）在中， ，，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且, 则 . （11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= . （12）如图，是的外接圆，过点C的切线交的延长线于点，，的长的 半径是 . （13）函数是定义在上的偶函数，且满足 .当时，.若在区间上方程恰有 四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 . （14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（≤≤）上的一个动点，点在线段的延长线上．当时，则点的纵坐标的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 已知函数（）的最小正周期为. （Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间； （Ⅱ）时，求函数的取值范围. （16）（本小题满分13分） 盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率； （Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率； （Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望． （17）（本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，平面平面，且， ．四边形满足，，．点分别为侧棱上的点，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数，使得平面平面？若存在， 试求出的值；若不存在，请说明理由． （18）（本小题满分13分） 已知函数，其中． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围. （19）（本小题满分14分） 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围. （20）（本小题满分13分） 设是数的任意一个全排列，定义，其中. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求的最大值； （Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（理工类） 2013.4 一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6）