培优专题勾股定理及应用(含解答)-[].docVIP

第17章 勾股定理 点击一：勾股定理 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2 = c2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方． 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点： （1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错； （3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理 拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理． 如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明． 如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b－a），面积为（b－a）2，四个直角三角形的面积为4×ab = 2ab． 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c2 =（b－a）2＋2ab，则a2＋b2 = c2问题得证． 请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数 将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有： ，，， 所以.即. 也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式． 如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2, 点击六：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等． （4）用勾股定理，在数轴上作出表示、、的点，即作出长为的线段． 针对练习: 1．下列说法正确的是（　　） A．若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2 D．若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2 2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ） A． ． ． ． -10 B．--10 C．2 D．-2 5．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍 6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 8．如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（　　） （Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）55 9.已知直角三角形的周长为2＋，斜边上的中线为1，求它的面积. 10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于 17cm，求CD的长. 类型之一：勾股定理 例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2． 解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角