届高考数学二轮解题方法篇：专题解题策略第7讲.docVIP

第7讲　配凑法在解题中的应用 [方法精要]　为解答某些数学问题，常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式，凑成某一合适的形式，以使问题迅速解决，我们称这类解题技巧为配凑法．当 题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时，常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决． 题型一　配凑法在函数中的应用 例1　已知f(x)－2f()＝x，求f(x)的解析式． 破题切入点　x与互为倒数，故可用代替x，类似解方程组，消去f()，即可求出f(x)的解析式． 解　因为f(x)－2f()＝x，用代替x可得f()－2f(x)＝， 联立 消去f()可得f(x)＝－， 所以f(x)的解析式是f(x)＝－. 题型二　配凑法在三角函数中的应用 例2　求cos20°cos40°cos60°cos80°. 破题切入点　20°、40°、80°恰好有二倍角的关系，而cos60°＝可不必考虑变形，有二倍角的关系即可联想到二倍角公式的应用，故分子、分母同乘2sin20°配凑成二倍角公式，反复利用二倍角公式即可． 解　cos20°cos40°cos60°cos80° ＝ ＝· ＝· ＝· ＝·＝. 题型三　配凑法在数列中的应用 例3　设{an}是公比为q的等比数列． (1)求{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． 破题切入点　本题求数列的通项公式要分类讨论，分公比等于1和不等于1两种情况，当公比不等于1时，在前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an的两边同乘以q，得到qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan，配凑成错位相减的方法，然后整理就可以求出前n项和公式． 解　(1)分两种情况讨论． ①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数列， 所以Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1. ②当q≠1，Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，两边同时乘以q(配凑成错位同类项) qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan－1＋qan. 上面两式错位相减： (1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋…＋(an－qan－1)－qan ＝a1－qan. 所以Sn＝＝. 综上，Sn＝ (2)设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列．则 ①当n∈N*，使得an＋1＝0成立， 则{an＋1}不是等比数列． ②当n∈N*，使得an＋1≠0成立， 则＝恒为常数α a1qn－1(q－α)＝α－1 当a1≠0时，q＝1. 这与题目条件q≠1矛盾． 综上两种情况，假设数列{an＋1}是等比数列均不成立，所以当q≠1时，数列{an＋1}不是等比数列． 题型四　配凑法在几何中的应用 例4　如图，在△ABC中，已知三个角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A＝120°， 求证：S△ABC＝[a2－(b－c)2]． 破题切入点　由∠A＝120°知，∠B＋∠C＝60°，有这样的三个三角形可以配凑成一个等边三角形花环，求出两个三角形的面积的差，即为三个三角形面积的和，就可以求出△ABC的面积． 证明　如图所示，阴影部分是三个△ABC的面积， S△BCD＝a·a·sin60°＝a2， S△AEF＝(b－c)·(b－c)·sin60° ＝(b－c)2， 所以S△ABC＝(S△BCD－S△AEF) ＝[a2－(b－c)2] ＝[a2－(b－c)2]． 总结提高　“配凑”就是通过恰当的拼与凑，使问题简洁、明了，从而达到比较容易解决问题的目的．一般来说，配与凑总是相辅相成、互为依托、互为补充的，所谓配凑就是在解题过程中，对某些题目同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，或者给式子左右加减同一个式子，或者有目的地编造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或具有某种特性，使问题向特定的方向转化，最后到问题的解决．配凑法是一种启发思维的好方法． 1．方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是(　　) A.k1B．k或k1 C．k∈RD．k＝或k＝1 答案　B 解析　把方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0化为圆的标准方程的形式(x－2k)2＋(y－1)2＝4k2－5k＋1，若表示圆，须满足4k2－5k＋10，即k或k1. 2．函数f(x)＝log0.5(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，] B．[，＋∞) C．(－，] D．[，3) 答案　D 解析　要使函数有意义，须满足－2x2＋5x＋30， 即－x3， 令t＝－2x2＋5x＋3，其在x∈[，3)上单调递减， 又知y＝log0.5t单调递减，根据复合函数的单调性， 原函数在x∈[，3)上单调递增． 3．已知f(x)＋2f(－x)＝2x，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝－xB．f(x)＝－x C．f(x)