届高考数学二轮解题方法篇：专题解题策略第9讲.docVIP

第9讲　消元法在解题中的应用 [方法精要]　在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法． 用消元法解题时注意以下几点： 1．把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去． 2．如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量． 3．解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意． 题型一　消元法在平面向量中的应用 例1　设＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，且2a＝b，c＝b＋d,2e＝3b＋4d，求证：点C是线段AE的中点． 破题切入点　本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c＝(a＋e)，因此，只要不断消元，即可得到向量c，a，e的关系． 证明　因为2a＝b，c＝b＋d， 所以b＝2a，d＝c－2a，代入2e＝3b＋4d， 可得2e＝3×2a＋4×(c－2a)， 整理得c＝(a＋e)， 所以点C是线段AE的中点． 题型二　消元法在解析几何中的应用 例2　已知双曲线－＝1(a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－＝1的距离之和S≥c，则e的取值范围是________． 破题切入点　根据已知的不等式找a，c所满足的不等式，转化为关于离心率e的不等式，通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围． 答案　[，] 解析　∵S＝＋＝≥c， ∴2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)， 即4c4－25a2c2＋25a4≤0， 即4e4－25e2＋25≤0， 解得≤e2≤5，即≤e≤. 总结提高　消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣． 1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)的值为(　　) A．2B.C.D．a2 答案　B 解析　因为f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2， 则f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2， 联立可得g(x)＝2， 又因为g(2)＝a，故a＝2. 因为f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，g(2)＝a， 则f(2)＝a2－a－2＋2－a＝22－2－2＋2－2＝. 2．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α的值为(　　) A.B.C．－D．－ 答案　C 解析　因为sinα＋2cosα＝， 又sin2α＋cos2α＝1， 联立解得或 故tanα＝＝－，或tanα＝＝3， 代入可得tan2α＝＝＝－， 或tan2α＝＝＝－. 3．设m1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为(　　) A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞) C．(1,3) D．(3，＋∞) 答案　A 解析　画出可行域，或分别解方程组得到三个区域端点(0,0)，(，)，(，)，当且仅当直线z＝x＋my过点(，)时，z取到最大值z＝2，解得m∈(1,1＋)． 4．若椭圆＋＝1(ab0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为(　　) A.B.C．2D. 答案　A 解析　因为e＝＝，所以a＝2c， 由a2＝b2＋c2，得＝， x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝， 点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝＝＝. 5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．4B．8C．12D．16 答案　D 解析　抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝|x1－x2|＝16. 6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　由题意知x≥0，则焦点F(1,0)，|PF|＝x＋1，|PA|＝＝，当x＝0时，＝1；当x0时，1＝≤＝(当且仅当x＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是. 7．已知双曲线：－＝1(a0，b0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点