空间直角坐标系、空间向量,高考历年真题.doc

温馨提示： 高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点25】空间直角坐标系、空间向量 2009年考题 1.（2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。 【解析】设由可得故 答案: (0,-1，0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2.（2009安徽高考）如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2. （I）求二面角B－AF－D的大小； （II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积. 【解析】（I）（综合法）连AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF， G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。 于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。 由， ，得， 由，得 （向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图） 设平面ABF的法向量，则由得 令，得， 同理，可求得平面ADF的法向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于。 （II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共 部分为四棱锥H-ABCD。过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。 因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而 由得。 又因为故四棱锥H-ABCD的体积 3.（2009福建高考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC的中点 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标 依题意得。 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 （2）假设在线段上存在点，使得平面. ,可设 又. 由平面，得即 故，此时线段. 经检验，当时，平面. 故线段上存在点，使得平面，此时线段. 4.（2009广东高考）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影． （1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线平面； （3）求异面直线所成角的正弦值. 【解析】（1）依题作点、在平面内的正投影、， 则、分别为、的中点，连结、、、， 则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ， 又面，，∴. （2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴， 得、，又，，，则，，， ∴，，即，，又，∴平面. （3），，则，设异面直线所成角为，则. 5.（2009海南宁夏高考）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长 都是面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值； 若不存在，试说明理由。 【解析】方法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中， ，所以,. (Ⅱ)设正方形边长，则。又，所以, 连，由（Ⅰ）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使 由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故. 方法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。设底面边长为，则高。 于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故从而 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量 ，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （Ⅲ）在棱上存在一点使. 由（Ⅱ）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而即当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而不在平面内，故 6.（20