立体几何综合大题20道(理).docx

立体几何综合大题（理科）40道及答案1、四棱锥中,⊥底面,,,.(Ⅰ)求证:⊥平面；(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。【答案】(Ⅰ)证明:因为BC=CD，即为等腰三角形，又,故.因为底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，故⊥平面。(Ⅱ)解：.由底面知. 由得三棱锥的高为,故：2、如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面 平面，且，分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明：如图，连结．∵四边形为矩形且是的中点．∴也是的中点．又是的中点，∵平面，平面，所以平面； （Ⅱ）证明：∵平面 平面，，平面 平面，所以平面 平面，又平面，所以又，是相交直线，所以面又平面，平面平面； （Ⅲ）取中点为．连结,为等腰直角三角形，所以，因为面面且面面，所以，面，即为四棱锥的高． 由得．又．∴四棱锥的体积考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.3、如图，在四棱锥中，，， ，，，.（Ⅰ）证明：∥；（Ⅱ）若求四棱锥的体积【答案】（Ⅰ）设，连接EF，∵∴∵平分为中点，为中点，∴为的中位线.∵∥，∴∥.(Ⅱ)底面四边形的面积记为;． ． 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．(1) 求证：；(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．【答案】 （1），为中点，　　　　　　　　　　 连，在中，，，为等边三角形，为的中点，, 　　　　　　　　　　　　　 ,平面,平面 , 平面. 　　　　　　　　　　　　　 （2）连接,作于. 　　　　　　　　 ,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， , ,. 　　　　　 , 又,.　 在菱形中，,, 　 .　 ．　 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面；⑵ 求四棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：由题可知，(2) ，则.6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，(1)若，求 PC与面AC所成的角(2) 求证：平面(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD【答案】平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，，；直线和平面所成的角为（2）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD（3）∵PD?平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD?BC，∵ABCD为正方形 ∴ BC?CD，∵PD∩CD=D, PD，CD平面PCD∴BC?平面PCD又∵ BC平面PBC∴平面PBC?平面PCD7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求四棱锥的体积．【答案】（1）平行平面证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行因为，所以平行平面.（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.因为在折叠前，由于折叠后，点，所以因为，所以平面.（3） .8、在如图所示的几何体中，四边形是正方形，⊥平面，∥，、、分别为、、的中点，且.(1)求证：平面⊥平面；(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比．【答案】(1)证明：∵平面，∥，∴平面，又平面，∴，∵为正方形，∴DC.∵，∴平面.在中，因为分别为、的中点，∴∥，∴平面.又平面，∴平面平面.(2)不妨设，∵为正方形，∴，又∵平面，所以＝＝.由于平面，且∥，所以即为点到平面的距离，三棱锥＝××2＝.所以.9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，(1)求四棱锥S-ABCD的体积;(2)求证：(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。【答案】（1）解：（2）证明：又（3）解：连结AC,则就是SC与底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=,10.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 （I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。 【答案】分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。（Ⅰ）设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴二面角的大小。11、如图，直三棱柱ABC-A