第11章 花威概率论学习指导.doc

第11章 概率论 11.1 基本要求 （1）了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质； （2）理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）． （3）掌握计算事件概率的基本计算方法： （4）理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算． （5） 理解概率分布的概念，掌握其三种基本形式：离散型概率分布，连续型概率密度，分布函数；掌握概率分布的特点、性质，会根据概率分布计算有关事件的概率； （6）掌握下列概率分布：0-1分布、二项分布和泊松分布等离散型概率分布，以及均匀分布、指数分布和正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质。 （7）理解随机变量的数字特征（数学期望、方差）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）的数字特征。 （8）会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望和方差。 11.2 内容提要 一、重要概念 1.随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间） 随机试验——对随机现象观测；样本点（基本事件）——试验最基本的结局，基本事件空间（样本空间）——一切基本事件（样本点）的集合．随机事件——随机现象的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件——每次试验都一定出现的事件，不可能事件——任何一次试验都不出现的事件． 2.事件的关系和运算 1、定义 关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）． 2、事件运算的基本性质 对于任意事件A, B, C,有 (1) 交换律 ． (2) 结合律 ； ． (3) 分配律 ； (4) 对偶律 ； 3.概率的概念和基本性质 1、概率的概念 事件的概率——事件在随机试验中出现的可能性的数值度量．用表示事件A的概率，用表示事件的概率． 事件B关于A的条件概率定义为 ． (1.1) 2、概率的运算法则和基本公式 (1) 规范性 ． (2) 可加性 对于任意有限或可数个两两不相容事件，有 ． (3) 对立事件的概率 ． (4) 减法公式 ． (5) 加法公式 ； (6) 乘法公式 (7) 全概率公式 设构成完备事件组，则对于任意事件A，有 ． (8) 贝叶斯公式 设构成完备事件组，则 ． 4. 事件的独立性和独立试验 1、事件的独立性 若，则称事件和独立；若事件之中任意m个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件相互独立． 2、伯努利试验 只计“成功”和“失败”两种对立结局的试验，称做伯努利试验．将一伯努利试验独立地重复作次，称做次(重)伯努利试验，亦简称伯努利试验．伯努利试验的特点是，1）只有两种对立的结局；2）各次试验相互独立；3）各次试验成功的概率相同．设是次伯努利试验成功的次数，则 ． 5 事件的概率的计算 1、直接计算 古典型和几何型； 2、概率的推算 利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件的概率推算较复杂事件的概率； 6.随机变量及其概率分布 1、基本概念 (1) 随机变量 随机变量，直观上指取值带随机性的变量，数学上指基本事件（样本点）的函数．实际中遇到的随机变量有离散型和连续型两大类：可能值个数有限或可数的随机变量称做离散型的；连续型随机变量的值域是数轴上的有限或无限区间．通常用后面几个大写拉丁字母（如）表示随机变量． (2) 概率分布 随机变量X的概率分布，指它的“值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的“概率”二者的总称．实际中遇到的概率分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量． 2、离散型随机变量的概率分布 设X是离散型随机变量，是它的一切(m个或可数个)可能值的集合．X的概率分布有如下一些常用的表示方法． ； ． 其中，． 3、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X的概率分布，由一非负函数——概率密度函数决定：对于任意实数，有 ． 概率密度的基本性质是： ． 此外，任意连续型随机变量取任何给定值的概率等于：． 4、随机变量的分布函数 分布函数可以描绘任何随机变量的概率分布．不过，有简单的函数式的分布函数很少，因此分布函数不便用于处理具体的随机变量，多用于一般性研究． (1) 定义 随机变量的分布函数定义为．它在点处的值，是事件的概率，即在上取值的概率． (2) 性质