第11讲 大数定律与中心极限定理.ppt

相互独立, 由独立同分布中心极限定理, 有 例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,…,1900 Xk P 10 20 0.5 0.5 相互独立同分布, 例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , X ~ B( 6000 , 1/6 ) 近似 由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 则 有 比较几个近似计算的结果 中心极限定理 二项分布(精确结果) Poisson 分布 Chebyshev 不等式 设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0, 方差为? 2 = 2的随机变量 Yn，并满足 其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率. *补充作业 解 设 表示今天该商品的价格, 为18 天后该商品的价格, 则 得 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 1.切比雪夫不等式 2.切比雪夫大数定律 3.贝努力大数定律 4.辛钦大数定律 三、中心极限定理 独立同分布中心极限定理 Lyapunov中心极限定理 De-Moivere-Laplace中心极限定理 一、背景 第11讲 大数定律与中心极限定理 一、背景 1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？ 2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？ 3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？ 4.大样本统计推断的理论基础是什么？ 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 1.切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E(X)=?,方差D(X)=?2,则对任意的正数?，不等式 或 成立. 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 2.切比雪夫大数定理 若X1，X2，?，Xn，?，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)=? D(Xk)=? 2 (k=1, 2, … )，则对任意的正数? 0,有 或 证 根据已知条件 由切比雪夫不等式，有 又 所以 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 3.伯努例大数定理 设nA为是n次独立重复试验中事件A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意的 正数? 0,有 或 证 设 那么 相互独立，且服从参数为p的0—1分布，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p). 由切比雪夫大数定理,有 即 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 4.辛钦大数定理 若X1，X2，?，Xn，?，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)=? (k=1, 2, … )，则对任意的正数? 0,有 或 定义1 设Y1，Y2，?，Yn，?, 是一随机变量序列，a为一常数. 若对任意给定正数?0,有 则称随机变量序列Y1,Y2 ,?, Yn, ?, 依概率收敛于a． 第11讲 大数定律与中心极限定理 二、大数定律 定义2 设X1，X2，?，Xn， ? 是一随机变量序列 .若存在常数列{an}使对任意给定的正数?，恒有 , 则称随机变量序列{Yn} 服从大数定律． 第11讲 大数定律与中心极限定理 三、中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理 若X1，X2，?，Xn，?，为独立同分布随机变量序列, E(Xk)=? D(Xk)=? 2 (k=1, 2,… )，则随机变量标准化量 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 例1 一个加法器同时收到20个噪声电压Vk,(k=1,2, ?,20),设他们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)内服从均匀分布. 记 ，求 . 解 由题意 随机变量 于是 所以 第11讲 大数定律与中心极限定理 三、中心极限定理 2.李雅普诺夫中心极限定理 若X1，X2，?，Xn，?，为独立同分布随机变量序列, ，若存在正数?，