第12届景润杯 第一讲 极限的理论与方法(讲座).ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 当某种数列{xn}是由递推关系 对这种由线性递推关系所定义的数列，我们可以将其视为常系数齐次线性差分方程，通过求其差分方程的特征根，写出xn的通项公式，从而可求出{xn}的极限。 所给出, 其中p,q为常数, x1,x2为已知初值. 例3 已知 解：将题目所给的递推关系式视为齐次差分方程，则它的特征方程为 求 为两个正数，取 令 由此解出两个特征根 因此{xn}具 有如下的通解形式 其中 待定. 由 于是 求得 故 举一反三练习 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1、 举一反三练习 2、 定理 8、利用广义洛必达法则求极限 例4　 1、 求 举一反三练习 证明 在 2、设 连续,且 当所求的极限表达式是连乘积形式，或可表成n项之和的形式时，可联想到用定积分的定义来求极限。 9、利用定积分定义求极限 连乘积形式的极限表达式可通过取对数把它转化成n项之和的形式。 例1 求极限 解：记 取对数转化成和的形式 故 例2 设 又 解：因为 由夹逼定理即得 我们把例2的解题思路归纳总结并一般化 而 所以 一般地，等价的表达式具有相同的极限. 例3 故 解：因为 1、求 举一反三练习 2、求 若级数 收敛，则有下列两条性质： 10、利用级数的收敛性求极限 （级数通项趋于零） （收敛级数的前n项和Sn有极限.） 例1 求极限 故 解：构造级数 由正项级数的比值判别法 所以级数 收敛， 则通项必趋于零. 例2 设 故 解：构造一个级数,使级数的前n项和Sn为xn,即 所以级数 收敛，因而 存在， 证明 存在. 则级数的通项为 存在。 另证：由于 故 即 有下界， 所以 单调下降 由拉格朗日中值定理知 存在。 故有 1、求 举一反三练习 2、求 11、用单调有界定理求数列极限 数列单调性的证明，通常方法是： 这是因为：若x1≤x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以 x1≤x2≤x3,以此类推, 同理若x1? x2,由f(x)的单调递增性有 x2=f(x1)?f(x2,)=x3,所以 x1?x2?x3，以此类推， 即可得到 {xn}是单调递增。 即可得到 {xn}是单调递减。 3、已知 提示：寻求a,b 使下式成立 求 的值. 为任意实数) 对乘除运算求极限，利用等价无穷小代换简便而有效，但对加减运算下的无穷小代换则需特别注意。下面定理给出了加减运算求极限时可以进行等价代换的条件。 4、加减运算下的等价代换 命题 设?(x),?1(x),?(x),?1(x)均为x?x0时的无 穷小，且?(x)??1(x),?(x)??1(x)， 证明：当x?x0时，?(x)+?(x)??1(x)+?1(x)。 且不等于-1， 命题证明:只需证 注意到 由等价关系(5) 1、 计算 举一反三练习 提示： Talor公式是用多项式逼近函数的一种有效工具，具有广泛的应用。带有Peano余项的Talor公式常被应用在求极限的过程中。 5、利用Taylor公式求极限 公式成立的条件是： 存在即可，不需要n+1阶导数的存在。 要熟记以下几个常用的带Peano余项的Talor公式. 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且 思考： （洛比达法则） 1、 求 举一反三练习 和 求 处可导,且 2、设 在 （1）数列极限的夹逼定理 若三个数列{xn},{yn},{zn},从某项开始成立 且 （2）函数极限的夹逼定理 如果函数 在 的某个邻域 里 或在无穷远的某个邻域内成立以下两个条件 则 6、利用夹逼定理求极限 例1 证: 应用二项式展开 由夹逼定理即证。 于是得 还有其它的方法放大吗？ 有！ 平均值不等式 由夹逼定理即可获证。 于是得 证: 于是由夹逼定理得到 例2. 证: 于是由夹逼定理得 例3. 证: 于是由夹逼定理得到 例4. 证: 于是由夹逼定理得到 例5 例6 证 由夹逼定理即得 例7 设 则有 解：由 依次取 求 . 令 将上面的不等式相加， 得 依次取 则有 即 由夹逼定理和 的任意性，得 而 Stolz定理 则