第14讲(大数定律、中心极限定理).ppt

也可以说 定理3 (棣莫佛——拉普拉斯定理) 也可以说 当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似. 也可以说 也可这样描述棣莫佛——拉普拉斯定理 由李雅普诺夫定理知 例1 一个复杂系统有100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，为使系统正常运行，至少必须有85个元件正常工作. 求(1)系统的可靠度（即正常运行的概率）； (2)上述系统假定有n个独立的元件组成，且要求至少80%的元件工作才使整个系统正常运行，问n多大时，才能保证系统的可靠度为0.95？ 解 (1)设 从而 n=25时，才能保证系统的可靠度为0.95. 例2 某单位设置一电话总机，共有200门分机，每门分机有5%的时间要用外线通话.假定每门分机是否使用外线相互独立，问该单位需安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机使用外线时不等待. 解 设该单位安装n条外线， 故该单位需安装14条外线，才能以90%以上的概率保证分机使用外线时不等待. 小结 本讲首先介绍了切比雪夫不等式，在此基础上给出了三个大数定律：切比雪夫大数定律，贝努里大数定律和辛钦大数定律. 最后介绍了三个中心极限定理:李雅普诺夫定理，列维—林德伯格定理和棣莫佛 — 拉普拉斯定理. * * 概率论与数理统计 第十四讲 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测. 第五章 极限定理 随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来 研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究. 极限定理的内容很广泛, 最重要的有两种: “大数定律”和“中心极限定理”. 对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出现频率具有稳定性. §5.1 大数定律 大量地掷硬币 正面朝上频率 字母使用频率 生产过程 中废品率 5.1.1 切比雪夫不等式 定理1 设随机变量X有期望E(X)和方差D(X)， 或 证明：当X 是离散时， 放大被积函数 放大积分域 当X 是连续时，设密度为 f(x). 解 例1 5.1.2 大数定律 定义1 设 X1, X2, …是一随机变量序列，如果对任意的 n1， X1, X2, …, Xn相互独立,则称X1, X2, …相互独立. 定义2 设 X1, X2, …相互独立且有共同的分布，则称X1, X2, ….是独立同分布的随机变量列. 若有随机变量X, 定义3 设 X1, X2, …是一随机变量序列， 几个常见的大数定律 设 X1, X2, … 相互独立，且有期望与方差, D(Xi) M（i=1, 2, ….，M为某常数）， 定理2 (切比雪夫大数定律) 证明 由 X1, X2, … 相互独立得， 故 下面给出定理2的特例——贝努里大数定律. 设X是 n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次试验中A发生的概率. 于是, 有下面定理. 设 X是 n 重贝努里试验中事件A发生的次数， p是 A 在一次试验中发生的概率， 定理3 (贝努里大数定律) 或 由X ～ B(n, p), 证 由切比雪夫不等式有 故 事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于某个常数. 在实践中，大量测量值的算术平均值具有稳定性. 如我校学生平均身高为a,一学生的身高可能与a相差甚远，如观察10个学生的身高，取其均值，有更大的机会与a接近，再观察100个，其均值与a又更接近. 设 X1, X2, … 独立同分布， 且 E(Xi)=μ, i=1,2,…， 定理4 (辛钦大数定律) 对随机变量X进行n次观察，得结果 x1, x2, … , xn. 中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富. §5.2 中心极限定理 在概率论中，把和的分布收敛于正态分布的那一类定理称为“中心极限定理”. 在实际中，有许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素综合影响所形成的，而其中的每一个因素在总的影响中所起的作用都是很微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布. 标准正态分布 的分布函数 这样 定理1 (李雅普诺夫Liapunov定理) 其中 Φ(x) 是标准正态分布 N