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工 程 力 学 上 册 第1章 运动学基础与点的运动学 1.1 运动学基础 1.1.1 引言 1.1.2 约束 1.1.3 广义坐标与自由度 1.2 点的运动的矢量描述 1.2.1 点的运动方程 1.2.2 点的速度和加速度 1.3 点的运动的坐标描述 1.3.1 在直角坐标系中研究点的运动 1.3.2 在自然轴系中研究点的运动 1.3.3 在柱坐标中研究点的运动 作业 1.2 1.4 1.5 第1章 运动学基础与点的运动学 §1.1 运动学基础 力学模型： 研究运动学问题的两种方法： 1. 矢量法： 按物体间相互接触的形式及其限制运动的特点，将约束分类如下： §1.3 点的运动的坐标描述 本节的主要内容 在上节我们通过矢量的形式描述了点的运动方程 、速度矢量 、加速度矢量 等。这节我们用坐标形式描述点的运动。通过在参考空间建立坐标系，由点的坐标值确定点的空间位置，并利用对坐标值的求导方法计算点的速度和加速度。本节将建立不同形式的坐标系，通过坐标来研究点的运动规律。 1.3.1 在直角坐标系中研究点的运动 1.3.1.1 运动方程 直角坐标系的建立： 与参考空间固连的右手直角坐标系Oxyz O y x z y x z 为直角坐标系的单位正交基 唯一确定 一一对应 直角坐标形式的运动方程： 当点 M 运动时， x，y，z 都是时间 t 的单值连续函数，点 M 的运动方程为 (1.5) 上式称为点的直角坐标形式的运动方程。 M 当式(1.5)的函数规律已知时，动点 M 在任一时刻 t 的位置可完全确定，其运动的性质也就完全确定。 说明： 当点 M 的运动不受约束时，式(1.5)中的x，y，z彼此独立的，其自由度为3，可选取它们为广义坐标； (1) (2) 当点 M 的运动受到约束时，式(1.5)中的x，y，z将不再独立，其自由度小于3，自由度应由独立约束方程的个数来确定，上述3个量不是或不全是广义坐标。 (3) 轨迹方程: 从式(1.5)中消去时间 t ，可得到点的轨迹方程。式(1.5)为点的轨迹的参数形式。 当点的运动被限制在某一平面（如Oxy平面）上时，该约束点的自由度为2，其位置可用广义坐标 x，y 确定，它的运动方程为 (4) (1.6) 位置矢径与直角坐标的关系： M (x, y, z) O y x z 设点 M 在参考空间中位置矢径为 在 x，y，z 轴上的投影分别为 z x y (1.7) 则 1.3.1.2 速度、加速度在直角坐标轴上的投影 (1) 速度在直角坐标轴上的投影： (1.8) 速度 在 x，y，z 轴上的投影 分别为 则 (1.9) 则 (2) 加速度在直角坐标轴上的投影： (3) 速度与加速度的大小和方向： (1.10) (1.11) 加速度 在 x，y，z 轴上的投影 分别为 则 任一矢量可由其在直角坐标系中3个坐标轴上的投影计算其大小和方向。 速度的大小： 速度的方向： 用速度与坐标轴夹角的余弦，也称方向余弦，来表示。 加速度的大小： 加速度的方向： 平动刚体运动的各点轨迹： 补充内容 O 平动刚体 结论： 平动刚体运动的各点的速度和加速度相同， 平动刚体运动的各点轨迹完全一样， 对于平动刚体运动可以“以点代体”。 B A 例1.1 1.3.2 在自然轴系中研究点的运动 1.3.2.1 运动方程 运动的描述： 点 M 在参考空间中的某一已知曲线上运动， (1.12) 点 M 的自由度为1， 选取一个广义坐标即可确定其位置。 点 M 是非自由点，已知的轨迹就是该点的约束条件。 弧坐标： 当点M 的轨迹已知时，其位置可弧坐标（广义坐标）确定。 O 在已知的轨迹曲线上任取一点 为新的坐标原点，并规定在 一侧量取的弧长为正值，而在另一侧量取的弧长为负值，点 M 的位置可由离开 的弧长 s 唯一确定。代数量 s 称为点 M 的弧坐标。 弧坐标形式的运动方程： 当点 M 运动时，弧长 s 是时间 t 的单值连续函数，即 (1.13) 上式称为点的弧坐标形式的运动方程。 1.3.1.2 速度、加速度在自然轴系上的投影 (1) 曲线的几何性质与自然轴系： 当已知动点 M 的弧坐标形式的运动方程时，讨论如何利用运动方程，求点 M 的速度、加速度在自然轴系上的投影，并计算速度、加速度的大小和方向。 自然轴系不同于直角坐标系，它与动点轨迹的几何性质密切相关，随着动点 M 的运动而变动，并在空间不停地变换其方位。因此需要先讨论曲线的几何性质以建立自然轴系。 s 已知