第2章_多元正态分布.ppt

作业 1、设三维随机向量的联合密度函数为 3、设随机向量 的协方差矩阵为 样本均值向量与样本协差阵在多元统计推断中具有十分重要的作用，并有如下性质： 4）维希特(Wishart)分布 * 多元统计分析 第二章 多元正态分布 及其参数估计 一、基本概念 二、多元正态分布 三、多元正态分布的参数估计 在多元统计分析中，多元正态分布占有重要的地位，这是因为许多实际问题涉及到的随机变量大都服从正态分布或近似服从正态分布；因此我们首先介绍多元正态分布基本概念与性质。 一、 基本概念 1）随机向量及其概率分布 我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是多个指标，而且又是观测n次得到的，我们常常把他们看成一个整体进行研究。 在多元统计中，仍将所研究的对象称为总体。它是由许多个个体构成的集合，如果构成总体的个体是具有p个需要观测指标的个体，我们称这样的总体为p维总体。由于从p维总体中随机抽取一个个体，由于p个指标观测值它依赖于被抽到的个体，因此p维总体可用一个p维随机向量来表示。 若从p维总体中观测了n个个体，称每一个个体的p个变量组成为一个样品，而全体n个样品组成一个样本。常把n个样品排成一个n?p矩阵，记为 离散型随机向量的统计性质可由它的概率分布完全确定，连续型随机向量的统计性质可由它的分布密度完全确定。 例2.1：试证函数 例2.2：对例2.1中的X，求其边沿密度函数。 例2.3：试问例2.2中的X1与 X2 是否相互独立？ 故X1与 X2 相互独立。 2）随机向量的数字特征 在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用各种统计分析之前，常常将每个指标“标准化”，即进行如下变换： 说明标准化数据的协差阵正好是原指标的相关矩阵。 二、多元正态分布 多元正态分布在多元统计分析中的重要地位，与一元统计分析中一元正态分布所占的地位一样，多元统计分析中的许多重要理论和方法都是直接和间接建立在正态分布的基础上，多元正态分布是多元统计分析的基础。此外在实用中遇到的随机向量常常是服从正态分布或近似服从正态分布。因此现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总体服从正态分布或近似服从正态分布为前提的。 这里需要说明的是，多元正态分布的定义有多种，可以采用特征函数来定义，也可以采用线性组合的方式来定义。 多元正态分布的基本性质 顺便指出，多元分析中的很多统计方法，大都假定数据来自多元正态总体。但是要判断已有的一批数据是否来自多元正态总体，并不是一件容易的事情。可是反过来要肯定数据不是来自于正态总体，倒是有一些简易的方法，其依据是：如果X=(X1,X2,…,Xp)T服从p元正态分布，则每个分量必须服从一元正态分布，因此把某个分量的n个样本值作成直方图，如果断定不呈正态分布，就可以断定随机向量X=(X1,X2,…,Xp)T也不可能服从p元正态分布。 三、多元正态分布的参数估计 在实际应用中，多元正态分布中的均值向量与协方差阵通常是未知的，需要由样本来估计，参数估计的方法很多，这里只介绍最大似然估计法。 1）多元样本的概念 从多元总体中随机抽取n个个体：X（1）,X（2）,…,X（n），若X（1）,X（2）,…,X（n）相互独立且与总体同分布，则称 X（1）,X（2）,…,X（n）为该总体的一个多元随机样本。简称为简单随机样本。样本中的每一个个体称为样品，样本中含有的样品的个数称为样本容量。 多元总体的样本观测数据常是观测n个样品的p个变量的取值，因此多元总体的样本观测数据用一个n?p阶矩阵X表示。 1、多元样本中的每个样品，对p个指标的观测值往往是有相关关系的，但不同样品之间的观测值一定是相互独立的。 2、多元分析处理的多元样本观测值一般都属于横截面数据，即在同一时间横截面上的数据。 3、对于数据按时间顺序排列的，它属于多元时间序列分析研究的范畴。 2）多元样本的数字特征 设X（1）,X（2）,…,X（n）为来自p元总体的样本。其中X（i） ＝(Xi1,Xi2,…,Xip)，i=1,2,..,p （1）样本均值向量 （2）样本离差阵 （4）样本相关矩阵 （3）样本协差阵 通过样本来估计总体的参数的方法叫参数估计。 参数估计的原则和方法很多，最常用的且有很多优良性质的最大似然法给出样本均值向量与样本协差阵的估计量。 *