高考数学人教A（理）复习【配套word文档】：第六篇第讲数列的综合应用.docVIP

第讲 A级　基础演练(时间：分钟　满分：分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是(　　)． A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3a1，则a4a2 解析　设公比为q，对于选项A，当a10，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a. 答案　B 2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1 025的最小n值是(　　)． A．9 B．10 C．11 D．12 解析　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn1 025的最小n值是11. 答案　C 3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)． A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案　C 4．(2013·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a10，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)． A．7 B．8 C．9 D．10 解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 所以d＝－a10. 解不等式an0，即a1＋(n－1)0， 所以n，则n≤9， 当n≤9时，an0，同理可得n≥10时，an0. 故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析　由x2－x＜2nx(nN*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n. S100＝＝10 100. 答案　10 100 6．(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________. 解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2. 答案　2 三、解答题(共25分) 7．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(nN*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26， 所以解得a1＝3，d＝2， 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝3n＋×2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋ ＝1－＝. 8．(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，nN*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋. (1)解　当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， 当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7， 又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， 由解得a1＝1. (2)解　2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， 当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1， 两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则－·＝1， 即＋2＝.又＋2＝3，知 是首项为3，公比为的等比数列， ＋2＝3n－1， 即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，an＝3n－2n. (3)证明　由(2)得＝. 当n≥2时，n2，即3n－2n2n， ＋＋…＋1＋2＋3＋…＋n＝1＋. B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2012·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)． A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)， 则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2， f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1