第2节 幂级数.ppt

作 业 P178习题(一) 2, 3, 4 * 第二节 幂级数 一、幂级数的敛散性 1. 定义 具有 形式的级数,称为幂级数, 其中, 2. 阿贝尔(Abel)定理 (1)定理4.10 证明 从而它的各项必有界, 即有正数M,使 为收敛的等比级数, 这样即有 (2)推论4.11 (3)幂级数的收敛情况 (1) 对所有的复数除z=a外都发散. 此时, 级数在复平面内除点a外处处发散. 例如,级数 通项不趋于零, 故级数发散. 例如, 级数 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛. (2) 对所有的复数都收敛 由Abel定理知: 幂级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛. (3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数. (如图) 幂级数 在以点a为中心的圆域内收敛. . . 收敛圆 收敛半径 答案: 幂级数 在什么区域内收敛? 问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意 问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 例如,下列 级数: 收敛圆周上无收敛点; 在收敛圆周上处处收敛. (4) 收敛半径的定义 注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况 (1)处处收敛; (2)处处发散; (3)既有收敛点,也有发散点. 二.收敛半径的求法 定理4.12 由上节定理, 证明 由于 收敛. 所以收敛半径为 [证毕] 即假设不成立 . 据阿贝尔定理, 例1 求下列幂级数的收敛半径: (1) (2) 或 解 (1) 因为 所以收敛半径 (2) (3) 定理4.13 (1) 幂级数 三 .幂级数和的解析性 (4.6)与(4.5)有相同的收敛半径; 证明 由Abel定理, 幂级数 故由Weierstrass定理, 注1 (4.5)可沿K内曲线C逐项积分,且收敛 半径与(4.5) 相同. 简言之: 在收敛圆内， 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导， 逐项积分. (常用于求和函数) 即 例2 求级数 的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分,得: 所以 例3 求级数 的收敛半径与和函数. 解