第4.3节 大数定律与中心极限定理.ppt

一. 定理的背景 第4.3节 大数定律与中心极限定理 考察工程测量中产生的误差 ◆仪器偏差 ◆由于大气折射造成的偏差 ◆由于温度变化造成的偏差 ◆估读误差造成的偏差 ● ● ● 近似服从正态分布。 【作业】习题3.3 2、4、6、7、8 一. 定理的背景 ？ 设 X1 , X2 , …, X n 为随机变量序列,在什么条件下，随机变量和 的分布收敛到正态分布呢 习惯上把研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理统称为中心极限定理（Central Limit Theorems ）。 第4.3节 大数定律与中心极限定理 这里只介绍独立同分布场合下的中心极限定理。 独立的随机变量和 相互独立 一. 定理的背景 第4.3节 大数定律与中心极限定理 引理：设 X1, X2, …, X n 为独立同分布序列,期望E(Xi)=μ,方差 D(Xi) =σ20 (i =1,2,…n), 则 证明： 相互独立 二. 定理的内容 定理3.3.4. 独立同分布中心极限定理 (林德贝格—勒维(Lindeberg-levy)定理) 设随机变量序列 相互独立同分布， 则对于随机变量 有， 第4.3节 大数定律与中心极限定理 注1：满足定理条件时，只要 比较大， 或 则近似有 注3：应用该定理时，需要找出独立同分布的随机变量序列以及随机变量和的期望和方差，再应用正态分布的有关性质进行计算。 注2：一般地，满足定理条件时，只要 n 比较大（ ，有时也可以根据具体情况放宽到 ），就可应用以上定理. 例4.3.1.（册 9页9题）用机器包装食盐 ,每袋食盐净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋食盐 ,求一箱食盐净重大于20500克的概率? 解:一箱食盐净重为X,箱中第i袋食盐净重为Xi,(i=1,2,…,200) 则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且 ，由独立同分布的中心极限定理得: X近似服从正态分布,且 EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000, 所求为P(X20500)= 1-P(X≤20500) =1-0.9998 = 0.0002 故一箱食盐净重大于20500的概率为0.0002. 例4.3.2. 设有64个电子器件，它们的使用寿命 都服从 (单位：小时) 的指数分布。其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个立即使用等等，令 为64个器件使用的总计时间，计算 超过490小时的概率。 解:由题意知 独立同分布,且 ( i =1,2,…,64 ) , 由独立同分布的中心极限定理近似有: 所求为 =NORMSDIST(1.875) = 0.9696 故64个器件使用的总计时间超过490小时的概率为0.9696 。 定理3.3.5 “棣莫佛—拉普拉斯”(De Moivre- Laplace) 定理 设随机变量 ，则对任意 ，有 演示 二. 定理的内容 第3.3节 大数定律与中心极限定理 演示 注1：若 ，则当 较大(n≥100 ) p 接近于0.5时，近似地有 注2：等价形式：若X～Ｂ(n,p),则当n充分大时，则对任意实数 ab ,有 二. 定理的内容 第4.3节 大数定律与中心极限定理 注3：P( X = m)≈P(m -0.5X≤m +0.5) 区间越小越精确,习惯上取长度为1的对称区间 第4.3节 大数定律与中心极限定理 例4.3.5. （册29 页）某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛---拉普拉斯中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值. 解:设X表示100户中被盗索赔户数,则 X ~ B(100,0.2) 由棣莫佛---拉普拉斯积分定理得X近似服从正态分布, E(X)=np=20,D(X)=npq=16,所以 X 近似服从N(20,16) 所求 P(14≤X≤30) =0.927 课堂练习 （册 38页）：某药厂生产的某种药品，声称对某疾病的治愈率为80%，现为了检验此治愈率，任意抽取100个此种病患者进行临床试验，如果有多于75人治愈，则此药通过检验。试利用中心极限定理计算此药通过检验的可能性。 例4.3.4. 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01,求500发炮弹中命中 5