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第4章 非参数谱估计 第4章 非参数谱估计 杨 鉴 梁 虹 编著 科学出版社 2010-6 引言 功率谱估计一般分成两大类： 经典谱估计，也称为非参数谱估计。 现代谱估计，也称为参数谱估计。 经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之上的。经典谱估计又可以分为两种方法： 相关图法。 1958年，Blackman和Tukey首先提出相关图法。 周期图法。 1898年，Schuster在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性的研究工作中，提出了周期图法，但直到1965年提出FFT以后，周期图法才受到人们的重视。 目录 4.1 平稳随机信号的自相关估计 4.2 相关图法 4.3 周期图法 4.4 周期图法的改进 4.5 应用举例 4.1 平稳随机信号的自相关估计 设{x(n),n=0,…,N-1}为实平稳随机过程{x(n)}的某次实现中的一段有限长数据记录。 用时间平均代替集平均，得自相关函数的第一种估计方法： 由于数据记录是随机的，因此基于数据记录的自相关估计也是随机的序列。 4.1 平稳随机信号的自相关估计 第一种方法的估计式也可改写为 当 |l|=N 时，不可能到 rx(l) 的估计。 有效的估计准则：N至少为50，并且 |l|=N/4 。 4.1 平稳随机信号的自相关估计 自相关矩阵 采用自相关估计的第一种方法，其自相关矩阵一定是非负定的。 4.1 平稳随机信号的自相关估计 程序4_1_1 估计随机过程的自相关函数 4.1 平稳随机信号的自相关估计 给定数据记录{x(n),n=0,…,N-1}，自协方差函数的估计算法为 其中 当 {x(n)} 的均值为零时，协方差等于自相关。 4.1 平稳随机信号的自相关估计 自相关估计的性能 估计量的期望值 是一个渐进无偏估计 自相关估计的方差 如果时延 |l| 相对于 N 足够小，则是一个很好的估计。但是，当 |l| 接近 N 时，越来越少的 x(n) 采样点被用来计算，结果是估计质量变差、方差增大。 4.1 平稳随机信号的自相关估计 第二种估计算法 尽管这个估计量是无偏的，但是由它组成的自相关矩阵不保证非负定。 第一种方法比第二种方法有更小的方差和均方误差。 在信号处理中，大多数情况下还是采用第一种方法。 4.2 相关图法 相关图(Correlogram)法功率谱估计 为了减少谱估计的方差，采用长度为2M-1的窗函数对自相关函数进行截取，得 矩形窗、Bartlett窗(三角窗)： 4.2 相关图法 在实际应用中，相关图法功率谱估计的步骤： 估计自相关序列 构成加窗自相关序列 计算序列法 f(l) 的NFFT点DFT/FFT，即为功率谱估计的采样值 4.2 相关图法 例4.2.1 用相关图法估计随机过程的功率谱 程序4_2_1 4.3 周期图法 定义 在一定的前提下，可以证明周期图谱估计和相关图谱估计的结果是相等的。 在实际应用中，周期图谱估计的计算式为： 其中，w(n)为窗函数。 4.3 周期图法 估计性能 渐近无偏性 周期图的方差(当N较大时) 周期图谱估计的方差不随数据记录长度 N 的增大而减小，而是近似于功率谱理论值的平方。 周期图谱估计不是一致，这是一个令人失望的结果。 4.4 周期图法的改进 4.4.1 平滑单一周期图 在频域中，利用一个滑动平均滤波器平滑周期图谱的估计值以减小估计方差 设周期图谱的估计值之间互不相关，则 功率谱估计的最小可分辨频率近似地由2π/N增大为(2M+1)2π/N 4.4.2 多个周期图求平均 把数据记录切分为K个分段，分别求周期图，然后求平均。 Bartlett方法：D=L。Welch方法： D=L/2 4.4.2 多个周期图求平均 设K 个数据分段之间互不相关，则 为一个渐近无偏估计和一致性估计。 如果N 固定，且 N = KL，为了降低方差而增加K，会导致L的减少，也就是分辨率的下降。 在实际应用中，用DFT/FFT计算DTFT，则 4.4.2 多个周期图求平均 4.4.2 多个周期图求平均 例4.4.1 用周期图平均法估计随机过程的功率谱 程序4_4_1 分别实现Bartlett方法和Welch方法。 在Welch方法中采用Hamming窗 在Bartlett方法中没有使用数据窗（矩形窗）。 单次运行结果，重复32次运行结果。 4.4.2 多个周期图求平均 4.4.2 多个周期图求平均 4.5 应用举例 4.5.1 语音频谱分析 语音信号是一种典型的非平稳信号。 相比于声波振动的速度，发音器官的运动速度就显得缓慢了。 通常认为长度为10 ms～30 ms的时间