第4讲 概率统计.doc

第4讲 随机变量的数字特征 知识要点 一、随机变量的数学期望 1．概念 (1) 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 若级数绝对收敛，则称为随机变量的数学期望，简称期望，又称为均值，记为，即＝． (2) 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量具有概率密度，若积分绝对收敛，则称数为的数学期望（或均值），记为，即 ＝． 2．性质 假设所出现的随机变量的期望存在． 性质1 若为常数，则． 性质2 为随机变量，为常数，则． 性质3 、为随机变量，则 ． 对于任意个随机变量，有． 性质4 设与是相互独立的随机变量，则有．对于任意个相互独立的随机变量，有 ． 性质5 若，则有． 3．随机变量函数的数学期望 数学期望刻画了随机变量的平均值，即位置特征． (1) 一维随机变量函数的数学期望 设为的函数，为连续函数． 为离散型随机变量，概率分布为如果级数绝对收敛，则有． 为连续型随机变量，概率密度为，如果积分绝对收敛则有 ． (2) 二维随机变量函数的数学期望 设是二维随机变量的函数，为连续函数． 若是离散型随机变量，且的概率分布为 如果级数绝对收敛，则有． 若是连续型随机变量，概率密度为，如果 绝对收敛，则有 二、随机变量的方差 随机变量的方差是反映随机变量取值分散或集中程度的数字特征． 1．概念 设是一个随机变量，如果存在，则称为随机变量的方差，记为或，即＝．称为随机变量的标准差或均方差，记为．一个常用的计算方差的公式． 2．性质 假设所出现的随机变量的方差存在． 性质1 为常数，． 性质2 为常数，为随机变量，则． 性质3 若，独立，则 ． 设相互独立，则 ．若，不独立，则 性质4 的充分必要条件是以概率1取常数，即，，这里 ． 三、常用随机变量的数学期望和方差 1．如果，即 则 ，． 2如果，则，． 3．如果，则，． 4．如果在区间上服从均匀分布，即，则，． 5．如果服从参数为的指数分布，即，则，． 6．如果服从参数为的正态分布，即，则，． 四、随机变量的矩、协方差和相关系数 1． 随机变量的矩 设是随机变量，如果存在，则称之为的阶原点矩，简称阶矩，记为，即＝．如果存在，则称之为的阶中心矩． 设 和是两个随机变量，如果 存在，则称之为和的阶混合矩．如果 存在，则称之为和的阶混合中心矩． 2．协方差 (1) 定义 对于随机变量和，如果存在，则称之为和的协方差，记作，即 ＝． (2) 两个常用公式 ， ． (3) 性质 性质1 ＝． 性质2 若与独立，则． 性质3 对任意实数和，有 ． 性质4 ． 性质5 ． 3．相关系数 (1)定义 对于随机变量和，如果，，则称为和的相关系数，记为，由定义知，其中分别是和的标准化随机变量，因此，相关系数和协方差都刻画了两个随机变量的相关性． (2) 随机变量和的不相关 如果随机变量和的相关系数，则称和不相关，否则称与相关． 两独立随机变量一定不相关，但两个不相关的随机变量未必独立．然而，对于联合分布是二维正态分布的随机变量，其独立性与不相关性是等价的． (3) 相关系数的性质 性质1 ． 性质2 如果和独立，则． 性质3 的充要条件是存在常数和，使得． 五、切比雪夫不等式 设随机变量的数学期望和方差都存在，则对于任意给定的正数，有 ， 或 ． 典型例题 一、随机变量的数字特征 例1 对某目标进行射击, 直到击中为止, 如果每次命中的概率为, 求射击次数的数学期望及方差. 解 记随机变量为射击次数，令，则 ， ， 两式相减，得 ， 故 . 又因为 ， ， 两式相减，得 ， 故 ， 从而 ， 所以 ， 故 ，从而 ． 例2 设的概率密度为 对独立地重复观察4次, 用表示观察值大于的次数，求的数学期望. 解 ， =. 所以 ，， . 例3 设的密度函数为 ，则 = . 解指数分布的方差,因此=. 例4 已知随机变量与均服从分布，且，则( ). （A） （B） （C） （D） 解 由与均服从分布，可以列出的联合分布如下： Y X 0 1 0 1 又已知 ，即，从而 ， 故选（C）. 例5 已知随机变量在（1,2）上服从均匀分布，在条件下服从参数为的指数分布，则 . 解 由题设知 所以的联合密度函数 例6 设随机变量相互独立，其中服从区间上的均匀分布，服从正态分布，服从参数为3的泊松分布，则 . 解 有题设可知， ，于是 例7 设随机变量独立同分布，且方差，记，则与的相关系数为( ). （A）-1 （B）0