第5章 应用统计学.ppt

* 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量的随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 大数定理是研究 中心极限定理是研究 即大数定理可说明许多 随机现象具有稳定性 收敛问题 适当条件下向正态分布 的部分和在 序列 既是研究相互独立的 } { . n X v r 定理一. 切比雪夫大数定律的特殊情况 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)=? ，D(Xi)=?，i=1,2, … 则对任意的? ?0，有 切比雪夫 (1821-1894) 第一节 大数定律 当 n 很大时，X1, …, Xn 的算术平均值在概率意义下接近于它们公共的 均值? 定理一是算术平均的稳定性定理 切比雪夫大数定律表明，当n充分大时， 与 ? 偏差很小的概率接近于1. 算术平均 定义： 设 Y1, Y2, … Yn 是随机变量序列，a 是一个常数。 若对任意的? ?0，有 则称序列Y1, Y2, … Yn 以概率收敛于常数a 记为 故上述定理一可以叙述如下 定理一： 设 X1, X2, …是相互独立的随机变量序列，它们具有相同的数学期望和方差，即 E(Xi)=? ， D(Xi)=? 2 ，i=1,2, … 则序列 以概率收敛于 ? . 记为 即：具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望 证明契比雪夫大数定律的主要数学工具是契比雪夫不等式： 设随机变量Y的期望E(Y)和方差D(Y)都存在，则对于任给的 定理二 （辛钦大数定律） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序列， 且E(Xi)= ? ，i=1, 2,…, 则对任给? 0, 辛钦 (1894-1959) 显然辛钦大数定律是契比雪夫大数定理的特殊情况。 证明略 辛钦大数定律在应用中很重要 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望. 或 设 是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p 是一次试验中事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理三（贝努里大数定律） (1654-1705) 证明: 设 是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p 是一次试验中事件A发生的概率 设 则有 独立同分布，且 满足辛钦大数定律条件，由辛钦大数定律，对任 有： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率 与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 给出了频率逐渐稳定于概率 的理论证明和数学表达式； 定理三结论：对于 有 频率 概率 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.； 贝努里大数定律为小概率原理（或实际统计推断原理）提供了理论依据； 小概率原理是：小概率事件在一次试验中，它是几乎不能发生的。 该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.他指出测量误差服从正态分布 高斯 1777-1855 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。 第二节 中心极限定理 例如：考虑炮弹的射击误差。设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为( X, Y )， X, Y 分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差。我们来看造成误差的原因是什么？ 每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差 每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差 等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的 以下我们从数学上来研究这种随机变量之和的分布 我们只讨论几种简单情形，下面我们将要研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？ 在什么条件下极限分布是正态分布？ 在概率论中，习惯把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理 下面仅给出独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维—林德伯格（Levy-Lindbe