第5章 波动学基础(电子工业出版社).ppt

* 第1篇 力　学 第一篇　力　学 万 有 引 力 定 律 运动学 动力学 质点力学 刚体力学 机械振动 机械波 　特殊运动的理想模型 　描述运动的物理参量 　运动参量间的数学规律 　运动规律的对称性 　影响物体运动状态的因素 　动力学规律 　守恒量与守恒律 狭 义 相 对 论 篇序 第5章 波动学基础 亚里仕多德 伽利略 牛顿 洛仑兹 爱因斯坦 动力学内容结构 §5-1　波动的动力学方程 §5-1.1　波动方程的建立 1. 轻质、柔弦的横波方程 如图，由牛顿定律有 微振动时 联立求解得 讨论：波动动力学方程的推导步骤 取微元对象?受力分析?列动力学方程?取近似得微分方程 如果弦在振动过程中还受到横向外力F作用，设横向力的力密 度(F/?)为f(x,t)，则在受迫振动情况下横波的波动方程为 2.杆中纵波方程 细杆中的纵波 设杆的质量密度为?，杨氏模量为 Y，横截面积为S，t时刻dx微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为u(x,t) 和u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为 称微元伸长量与原长之比为相对伸长量，则相对伸长量为 由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为 细杆中的纵波 化简得 其中 3.均匀薄膜的横波方程 薄膜振动 在薄膜上取微元dxdy，张力在z方向的分量为 其中，n是T在xoy平面内投影方向的单位矢量 微元受到沿x方向的横向(z方向)作用力为 微元受到沿y方向的横向作用力为 由牛顿第二定律，薄膜微元遵守的动力学方程为 记 于是 如果薄膜在振动过程中还受到横向外力F作用，设横向力的力 密度(F/?)为f(x,y,t)，则在受迫振动情况下横波的波动方程为 薄膜振动 4.电报方程 高频传输电路 设单位长度传输线所具有的导线电阻、线间电漏、电容和电感 分别记为R、G、C和L，则微元的电阻Rdx和自感Ldx串接在线 路中，分离电容Cdx和漏电电阻(1/G)dx跨接在两线之间，微元 的等效电路图如图。微元电路遵守的电路方程为 化简得 以? /?x作用于第一式，以G+C? /?t作用于第二式，两式相减得 以R+L? /?t作用于第一式，以? /?x作用于第二式，两式相减得 导线电阻R和线间电漏G很小的传输线称为理想传输线。对理 想传输线，上式可化简为理想传输的传输线方程或电报方程 其中 5.电磁波的波动方程 在电荷密度?=0，电流密度j=0的情况下，真空中麦克斯韦方 程组可以写为 其中 对第三式两边取旋度得 利用矢量分析公式　　　　　　　　　　　　　第一式　 由第五、第六式，第七式右端可化简为 将第八、第九式代入第七式 电报方程 §5.1.2　波速 1.影响波速的因素 由波动方程 可得 所以 对比 可知 即：波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度 讨论：影响波的传播速度的因素 对其它波动形式的方程作类似推导，可得各种波动的波动方 程及传播速度，由传播速度的表达式，容易知道影响波传播 速度的因素 绳的微振动横波 T：绳的张力 杆的纵向微振动波 Y：杨氏弹性模量 杆的横向微振动波 G：切变弹性摸量 声音在空气中传播 B：体变模量 真空中的电磁波 ?０真空介电常数，?０真空磁导率 3400~4700(纵波，沿纤维方向) 木材 331(20?C) 空气 8000(纵波)， 4450(横波) 地表 3650(纵波) 砖或水泥块 1531(25?C) 海水 5854(纵波)， 3150(横波) 钢 表5.1.1 某些介质中波的传播速度(m/s) 2.介质的几种典型模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反的轴 向拉力F，使棒伸长?l，实验证明：在弹性限度内，正应力 F/S与线性应变?l/l成正比，即 杨氏模量 比例系数Y由材料的弹性决定，称为杨氏模量 (2).切变模量 (1).杨氏模量 切变模量 在柱体上下表面S上作用一大小相 等，方向相反的切向力F，使柱体 发生切变。实验证明：在弹性限度内，切应力F/S与切应变 ?x/h??成正比，即 比例系数G由材料的切变弹性决定，称为切变模量 (3).体变模量 设流体体积在压强为P时等于V，如果是压强增加到P+?P，体 积变化为V+?V，则在通常压强范围内有 体变模量 比例系数B称为切变模量。式中负号表示当 ?P0时，?V 0 例：设稀薄大气的摩尔质量为?，大气密度为?，摩尔热容比为 　?，大气压强为P，温度为T，摩尔气体常数记为R 证明：稀薄气体中的声速计算公式为 证明：考虑到声波振动频率较高，随着声波在气体中传播，气 体提及的压缩与膨胀过程都很快，可认为该过程为绝热过程， 由绝热过程的状态方程 其中，C为常数。对上式微分，有 由体变模量定义式 将(2)