---抛物线的简单几何性质.pptVIP

1．知识与技能 能根据抛物线的方程推导它的几何性质． 2．过程与方法 能应用抛物线的性质解决有关问题 归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同． 重点：抛物线的几何性质． 难点：抛物线几何性质的运用． 1．抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线． 2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． 3．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论． 4．在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解． 5．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化． 1．抛物线四种标准形式与图象的对应关系 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连线的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 3.焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l. 1．范围　因为p0，由方程y2＝2px(p0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的 侧；当x的值增大时，|y|也 ，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 ． 2．对称性　以－y代y，方程y2＝2px(p0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的 ． 3．顶点　抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 ．在方程y2＝2px(p0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是 ． 4．离心率　抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的 ，用e表示，按照抛物线的定义，e＝ . [例1]　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，求这个正三角形的边长． 等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是 (　　) A．8p2　　　 B．4p2　　　 C．2p2　　　 D．p2 [答案]　B [分析]　首先确定抛物线形式是解决此类问题的前提． 若抛物线以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点M(－2，－4)，则抛物线的方程为________． [答案]　y2＝－8x或x2＝－y [解析]　由于点P在第三象限，故抛物线方程可设为：y2＝－2px或x2＝－2py. 由于过点M(－2，－4)，分别代入得，16＝－2p×(－2)，∴4＝－2p×(－4)， ∴所求抛物线的方程为y2＝－8x或x2＝－y. [例3]　(1)设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px　(p0)上任一点，F为其焦点，求证：|PF|＝x0＋ ； (2)设AB是过抛物线y2＝2px　(p0)的焦点的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证|AB|＝x1＋x2＋p. 已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且x1、x2、x3成等差数列，则有 (　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3| [答案]　C [例4]　如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口直径为12m，镜深2m. (1)建立适当的坐标系， 求抛物线的方程和焦点坐标； (2)若把盛水和食物的容器 近似的看作点， 试求每根铁筋的长度． [解析]　(1)如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径． 由已知，得A点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y2＝2px(p0)，则36＝2p×2，∴p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x. (2)∵盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长． 故每根铁筋的长度是6.5m. 汽车前灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分如图(1)，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线的顶点)距离是________． [答案]　3.6cm [解析]　取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶