--指数函数与对数函数的关系.pptVIP

1．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为 ． 2．对数函数与 互为反函数，图象关于 对称． 指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象与性质： 对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象与性质： 本节重点：指数函数与对数函数间的关系，互为反函数的两个函数图象间的关系． 本节难点：反函数概念的理解． 1．对数函数的图象与性质又是一重点内容，学习过程中，要充分发挥数形结合的作用，通过图象来帮助理解和记忆，另外也要通过对数函数与指数函数的关系来对比学习．要熟悉底数a1和0a1对对数函数图象和性质的影响．在解决与对数有关的问题时，应首先考虑定义域． 2．对于反函数概念的理解要注意以下几点： (1)反函数的定义域与值域恰好是原来函数的值域与定义域．由此我们在求一个函数的值域(或定义域)时，可改求它的反函数的定义域(或值域)． (2)对于任意一个函数y＝f(x)不一定总有反函数，只有当确定这个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数．y＝f(x)只有存在反函数时，才可由y0＝f(x0)得出x0＝f－1(y0)(或由b＝f－1(a)得出a＝f(b))． [例1]　设a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的 (　　) [答案]　B [解析]　y＝ax的反函数为y＝logax，y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，因此，y＝loga(－x)的图象在y轴左侧，从而排除A、C.当a1时，y＝ax是增函数，y＝loga(－x)是减函数，当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝loga(－x)为增函数，从而排除D，应当选B. [点评]　注意y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．y＝f(x)与y＝f－1(x)(反函数存在时)的图象关于直线y＝x对称． 指数函数f(x)＝(2－a)x和对数函数g(x)＝ 的图象只能是 (　　) [答案]　A [例2]　已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________. [答案]　1 [解析]　由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图象上，∴5＝22＋b，∴b＝1. 已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)， (1)求y＝f(x)的定义域； (2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过两点的直线平行于x轴？ (2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0， 则ax1＞ax2，bx1＜bx2，∴ax1－bx1＞ax2－bx2＞0， 即lg(ax1－bx1)＞lg(ax2－bx2)，故f(x1)＞f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，A(x1，y1)、B(x2，y2)使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴． [例4]　函数y＝log2x(x≥1)的反函数的定义域为________． [误解]　R　∵函数y＝log2x的反函数为y＝2x，∴x∈R. [辨析]　误解中忽视了反函数的定义域是原函数的值域． [正解]　[0，＋∞)　∵函数y＝log2x的反函数的定义域为原函数y＝log2x的值域． 又∵x≥1，∴log2x≥0，∴反函数的定义域为[0，＋∞)． 一、选择题 1．函数f(x)＝3x(0x≤2)的反函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(1,9] C．(0,1) D．[9，＋∞) [答案]　B [解析]　函数f(x)＝3x(0x≤2)的反函数的定义域为原函数的值域，而0x≤2时，1＜3x≤9，∴反函数的定义域为(1,9]，故选B. 2．若f(10x)＝x，则f(5)＝ (　　) A．log510　　B．lg5　　　C．105　　　D．510 [答案]　B [解析]　解法一：令u＝10x，则x＝lgu，∴f(u)＝lgu，∴f(5)＝lg5. 解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5)＝lg5. [答案]　C 二、填空题 4．函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝__________. [答案]　3x(x∈R) [解析]　∵函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，∴函数y＝f(x)为函数y＝log3x(x＞0)的反函数