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2011年数学之家寒假公益讲座 2011年数学之家寒假公益讲座 目录 经典例题 经典例题 经典例题 经典例题 经典例题 * 作者:青衫磊落 目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 * 作者:青衫磊落 目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 数学之家恭祝大家2011年新年快乐！ 2010-2011年数学之家寒假公益讲座 第六章——数列与数学归纳法 数列及其前n项和 1 等差、等比数列及其前n项和 2 特殊数列的前n项和 3 递推关系和通项公式 4 数学归纳法 5 数列及其前n项和 1 1.1 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，记作 【1】数列的通项公式: 【2】数列的单调性： 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 数列是特殊的函数 你知道定义中“一定次序”的含义么？ 1.2 数列的前n项和： 数列及其前n项和 1 例2 【 2007，福建，文】 例1 【2004，江苏】 等差、等比数列及其前n项和 2 2.1 等差数列 【1】定义： 【2】通项公式： 【3】等差中项： 第一通项公式 第二通项公式 等差、等比数列及其前n项和 2 2.1 等差数列 【4】性质： 可推广至多项 等差、等比数列及其前n项和 2 2.2 等差数列的前n项和 【1】公式： 【2】性质： 等差中项 二次函数 例3 【2009，湖北】 例4 【 2009，全国Ⅱ】 例5 【 2007，辽宁】 例6 【 2008，福建】 例7 【 2008，福建】 2.3 等比数列 等差、等比数列及其前n项和 2 【1】定义： 【2】通项公式： 【3】等比中项： 指数函数 第一通项公式 第二通项公式 这是个易错点 2.4 等比数列的前n项和 等差、等比数列及其前n项和 2 【1】公式： 【2】性质： 指数函数 例8 【 2009，全国Ⅱ 】 例9 【 2008，四川】 例10 【 2009，辽宁】 例11 【 2008，陕西】 特殊数列的前n项和 3 3.1 公式法 3.2 裂项相消法 特殊数列的前n项和 3 3.3 错位相减法 特殊数列的前n项和 3 例12 【 2010，山东】 例13 【 】 递推关系和通项公式 4 4.1 详见数学之家帖子：求递推数列的通项公式 递推关系和通项公式 4 4.2 递推关系和通项公式 4 4.3 递推关系和通项公式 4 4.4 数学归纳法 5 5.1 合情推理 归纳推理，主要指完全归纳推理和不完全归纳推理，是从特殊到一般的推理。 合情推理：由美籍匈牙利数学家George Polya （乔治·波利亚 ）提出，指观察，归纳，类比，实验，联想，猜测，矫正与调控等方法。 在高中阶段主要是指归纳推理与类比推理。 类比推理，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理。 科学思维具有两重性:一类是进行论证推理的逻辑思维;另一类则是形象思维.形象思维最直接的层面是合情推理.逻辑思维是在“抓到真理”后进行完善和“补行证明的思维,而合情推理则是发现真理的思维. 因此,波利亚呼吁:让我们教猜想吧! 数学归纳法 5 5.1 演绎推理 三段论推理，由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理，小前提是指个别对象，从这个进行推理，然后得出结论。 演绎推理正确的条件：若大小前提正确，则结论正确； 演绎推理有三段论、假言推理和选言推理等形式，由一般到特殊的推理。 在高中阶段主要是指三段论推理。 波利亚注意到“数学有两个侧面,……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学;但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学. 数学归纳法 5 5.2 数学归纳法 数学归纳法是完全归纳法的一种，理论基础是皮亚诺第五公设，在证明与自然数有关的整除问题，数列问题，不等式问题时有重要作用。 常见的形式有第一数学归纳法，第二数学归纳法。 经典例题 例1 【 2007，全国Ⅰ 】 例2 【 2004，重庆】 例4 【 2009，山东】 例3 【 2008，浙江】 例5 【用数学归纳法证明： 】 * 作者:青衫磊落 目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 * * * *