第7章 第4节空间中的垂直关系.ppt

第4节　空间中的垂直关系 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线和此平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线． ②垂直于同一个平面的两条直线 ． ③垂直于同一直线的两平面 ． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 1．(教材习题改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　) A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内任意一条直线垂直 解析：由线面垂直的定义知选D. 答案：D 2．设a、b是两条直线，α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(　　) A．a⊥α，b∥β，α⊥β　 B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a?α，b⊥β，α∥β　 D．a?α，b∥β，α⊥β 答案：C 3．(2012·浙江高考，5)设l是直线，α，β是两个不同的平面(　　) A．若l∥α，l∥β，则α∥β　　 B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β　　 D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 解析：对于选项B，一条直线与一个平面垂直，而一个平面又与直线平行，则这两个平面垂直．故选B. 答案：B 4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α?n⊥α　 ②α∥β，m?α，n?β?m∥n ③m∥n，m∥α?n∥α　 ④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β 其中正确命题的序号是________． 解析：由线面垂直的性质知①正确；由面面平行的定义知，m、n可能平行，也可能异面，∴②错误；对于③中n∥α也可能n?α，④正确． 答案：①④ 5．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号) ①平面ABC⊥平面ABD　②平面ABD⊥平面BCD ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 解析：∵AB＝CB，AD＝CD，E为AC的中点． ∴AC⊥BE，AC⊥DE∴AC⊥平面DEB ∴平面ABC⊥平面BDE，平面ACD⊥平面BDE. 答案：③ (1)证明：O1′，A′，O2，B四点共面； (2)设G为AA′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′＝A′O1′，证明：BO′2⊥平面H′B′G. [证明]　(1)如图，将两个半圆柱补充为两个圆柱，延长AO1交圆O1于点H，由题知O1′H′平移到O′2B′，O1H平移到O2B，于是O′2B′∥O1′H′. 而BO′2?平面B′O2′O2B， ∴D′E′⊥BO2′，又H′B′∥D′E′， ∴BO2′⊥H′B′. 另一方面，可得BO2′∥HO1′， 在正方形HAA′H′中，点G，O1′分别是AA′，A′H′的中点， ∴HO′1⊥H′G，于是BO′2⊥H′G. 又∵H′B′∩H′G＝H′， ∴BO2′⊥平面H′B′G. [规律方法]………………………………………………?? (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；② a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD， CD平面ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 而PD平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.