第7章_离散余弦变换.ppt

* 第七章 频域处理 7.3 频域变换的一般表达式 7.3.1 可分离变换 二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示： 式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1；y, v=0, 1, 2, …, N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。 如果 g(x, y, u, v)=g1(x, u)g2（y, v）  h(x, y, u, v)=h1(x, u)h2(y, v) 则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。 7.3.2 图像变换的矩阵表示 数字图像都是实数矩阵， 设f(x, y)为M×N的图像灰度矩阵， 通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式： F=PfQ f =P-1FQ-1 其中，F、f是二维M×N的矩阵；P是M×M矩阵；Q是N×N矩阵。 式中，u=0, 1, 2, …, M－1，v=0, 1, 2, …, N－1。 对二维离散傅立叶变换，则有 实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。 7.4 离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）是可分离的变换，其变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。 7.4.1 一维离散余弦变换定义 一维DCT的变换核定义为 (x, u=0, 1, 2, …, N－1) 一维DCT定义如下： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。 (u, x=0, 1, 2, …, N－1) 将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即 F=Gf 其中 一维DCT的逆变换IDCT定义为： 式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。 7.4.2 二维离散余弦变换 二维DCT正变换核为 式中，x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像矩阵，则 式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 二维DCT逆变换定义如下： 式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。 通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即 7.4.3 离散余弦变换的计算 离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。 将f(x)延拓为 x=0, 1, 2, …, N-1 x=N， N+1, …, 2N-1 按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT为 式中，Re{·}表示取复数的实部。 由于 为fe(x)的2N点DFT，因此，在作DCT时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，然后对fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。 同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为 u=0, 1, 2, …, N-1 u=N, N+1, …, 2N-1 由上式可得，DCT的IDCT为 可见，IDCT可由 的2N点的IDFT来实现。 DFT和DCT的频谱分布 （a）DFT频谱分布； （b） DCT频谱分布 细节较少图片的傅立叶变换和离散余弦变换 细节中等图片的傅立叶变换和离散余弦变换 细节较多图片的傅立叶变换和离散余弦变化 7.4.3 离散余弦变换的应用实例 一、DCT在JPEG压缩编码中的应用 JPEG(Joint Photographic Experts Group) 专家组开发了两种基本的压缩算法，一种是采用以离散余弦变换(DCT)为基础的有损压缩算法，另一种是采用以预测技术为基础的无