第8章离散模型-足球赛排名方案A.ppt.ppt

足球赛的排名方案 A(1 ) 问题 表1给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩， 要求设计一个算法来排各队在阶段的名次. 要求： ① 设计一个依据这些成绩排出各队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。 ② 把算法推广到任意N个队的情况。 ③ 讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出各队的名次。 说明： ① 12支球队依次记作 ② 符号×表示两队未曾比赛。 ③ 数字表示两队比赛结果。如 行与 行列交叉处的数字表示 与 比赛了2场； 与 的进球数之比为0：1和3：1。 足球赛的排名方案 A(2) 表1 足球赛的排名方案 A(3) 问题的分析 首先我们认为足球队排名是指在该阶段内各队的实力排序。各队在比赛中的实际名次要受赛制的影响，与实际实力往往有出入（应受偶然因素的影响）； 其次尽管甲级比赛的冠亚军名次早有公布，再计算显得无多大意义。然而，两队之间进行比赛之前，我们只能以实力和偶然因素（如主、客场等因素）推判谁胜谁负的可能性。比赛成绩公布后，对偶然因素不予考虑，只依据成绩，研究实力排序仍然是有意义的。 再次模型是一种算法。该算法有推广的价值，即能令大多数人所接受，认为合理，而且方法简单可行，实用性较大。电脑程序则只要输入比赛成绩便有较合理的结果，且所耗时间较短。 足球赛的排名方案 A(4) 模型的假设 ①假设给定的数据（比赛结果）已排除主、客场因素的影响。 问题中所给出的数据可认为：单场为第三地比赛结果，两场为主客场比赛。三场为一场在第三场地比赛，另两场为主、客场，或者可以认为都是在第三地比赛的结果，因此可近似地不考虑主、客场对比赛成绩的影响。 ②假定给定的数据皆为正式比赛的结果，既没有打假球的数据。 ③假定每场比赛裁判公正，场上比赛主要靠实力决定。 ④假定在该一段比赛时间内各队实力基本稳定。 ⑤在前面基础假设的基础上，选择采用目前较为常用的积分方式：胜一场2分，平一场1分，输一场0分。虽然还有其他记分方式如：胜一场3分，平一场1分，输一场0分，但较少采用。本案例主要根据第一种记分方式建立模型，其模型激励也是用于其它类似的记分方式（1988～1989年采用的国脚加分计分方法除外）。 足球赛的排名方案 A(5) 1 基本模型A 假设A 参加比赛各队是两两交锋且每两队比赛场次相等。由基础假定③和基础假定④可知，总的来说，偶然因素影响较小，则利用表2所示的算法来积分求解。 表2 注：采用基础假定⑤，确定的记分方法为： 。 足球赛的排名方案 A(6) 基本模型A 将填好的表中的积分栏中的积分 作比较，排出这间所有队 的实力次序。一般来说，若出现 ，表示两队实力相当， 可以认为两队实力处于一个水平；若一定要分出先后，则依据净胜球、进球数序等来排。 模型分析 模型对于严格的循环赛的结果，可以简单有效地排出各队的实力。若数据满足假设A当然算法简单合理，不失为一种好模型，但如遇上题中所给的表1中的数据;场次不同,也未必两两交锋(如分组赛、混合赛，题目中所给数据为先分组单循环，后再分组双循环)，不符合假设A，应当将模型A进行改进。 ? 足球赛的排名方案 A(7) 得分能力模型B 为了适用于广泛的比赛情况，模型A的条件应当放松。模型B的假设为： 假设 假定对每一个队来说，它面对的对手的总体水平相当，即认为比赛的对手足够多，场次足够多，以致于各队参加的每场比赛的对手的平均实力相当。 假设 各队在每场比赛中表现的水平是其实力附近的一个随机值，实力即该随机值的期望值。由基础假设③和假设 ，我们用各队平均每场的得分能力G来描述实力： 。实力的大小排序以得分 能G来确定。则可以用表3 所示的算法求出各队的得分能力。 足球赛的排名方案 A(8) 得分能力模型B 表 3 注：其中 （i=1,2,┅,n）。 足球赛的排名方案 A(9) 得分能力模型B 然后依据得分能力 的大小，排实力次序。一般来说，若出现 ，则认为两支队并列；若一定要排出先后，则依据每次平均净胜球、平均进球数序等