第8讲 图像变换 频域增强.ppt

一、傅立叶变换 1、一维离散傅立叶变换 2、二维离散傅立叶变换 傅立叶变换周期性 (a)??? 表示在区间中一个周期的傅立叶谱 (b)??? 表示在同一区间内整个周期平移之后的频谱 4、快速傅立叶变换 1965年Cooley和Tukey首先提出 由W阵和W=e-j2π／N，系数W是以N为周期的。W阵中很多系数就是相同， 且对称 FFT的基本思想： 把一个离散序列分解成若干短序列， 并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程。 四、其它可分离图像变换 （1）沃尔什变换 （2）哈达玛变换 具有的简单迭代性质 * 傅立叶变换 其他变换 频域滤波增强 第八讲 图像变换 频域增强 式中：x，u = 0， 1， 2， …, N－1。 （1） （2） F(u)=|F(u)|ejφ(u) |F(u) |:f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，φ(u)为f(x)的相位谱。 能量谱或功率谱: (9) (8) 式中：u, x=0, 1, 2, …, M-1；v, y=0, 1, 2, …, N-1；x, y为时域变量，u, v为频域变量。 系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于1／MN即可。 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱: R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。 傅立叶谱图像通常显示的是log(1+| F(u，v)|)的结果，因为F(u，v)随(u，v)的衰减太快，只能看到高频项很少的峰，其余都难以表示清楚，采用对数形式显示，人眼就能看到更多的频谱峰； 利用傅立叶变换的平移性质，将f(x，y)的傅立叶变换的原点移到了频率域窗口的中心显示，这样在显示的傅立叶谱图像中，窗口中心为低频；向外是高频，便于分析。 (a) (b)????????????? (c) (a)矩形函数 （b）图像表示 （c）它的傅立叶谱 一些二维函数及其傅立叶谱 3、二维离散傅立叶变换的性质 （1） 可分离性 用两次一维DFT计算二维DFT （2） 平移性质 只要将f(x, y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2, N／2）处。 傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 (a) (b) (c) （3） 旋转不变性 时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。 （a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱；  （c） 旋转45°后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱 (a) (b) (d) (c) W=e-j2π／N ：旋转因子，由Wux构成的矩阵：W阵或系数矩阵。 结果： 一维时，利用一次抽取其计算量由直接计算所需要的N2复数乘法、 N (N-1)次复数加法减少到N2/2次复数乘法和N2/2次复数加法。 （参考有关数字信号处理参考书） 二、 频域变换的一般表达式 1、 可分离变换 通用的关系式 (13) (14) 式中：x,u=0, 1, 2, …, M－1；y,v=0,1,2, …, N－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。 若 g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2（y,v）  h(x,y,u,v)=h1(x,u)h2(y,v) 则称正、反变换核是可分离的; 如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。 二维傅立叶变换对 可分离的和对称的 三、 离散余弦变换（DCT） 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征，常用于图像图像压缩编码 。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是一种可分离的变换。 1、 一维离散余弦变换 一维DCT的变换核定义为 式中，x,u=0,1,2, …, N－1； 一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列 式中，u,x=0,1,2, …,N－1。 将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即 F=Gf 其中 一维DCT的逆变换IDCT定义为 式中，x,u=