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* * 1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数单调性的概念 主备：刘鹏飞 问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据： 21.1 25.4 27.8 33.7 35.8 44.2 58.2 100 记忆量y (百分比) 一个月后 6天后 2天后 1天后 8-9 小时后 60分钟后 20分钟后 刚记忆完毕 时间间隔 t 以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图. 1 2 3 t y o 20 40 60 80 100 思考1:当时间间隔t逐渐增 大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？ t y o 20 40 60 80 100 1 2 3 知识探究（一） y x o 考察下列两个函数: （1） ； (2) x y o 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？ 思考3:如图为函数 在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2， 当 时， 与 的大小关系如何？ x y o x1 x2 思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数 在区间D上是增函数”？ 定义：对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 时，都有 , 则称函数 在区间D上是增函数. 知识探究（二） 考察下列两个函数: （1） ； (2) x y o x o y 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 在区间D上是减 函数”？ x y o x1 x2 定义：对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 时，都有 , 则称函数 在区间D上是减函数. 思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 时，都有 ,则函数 在区间D上是增函数还是减函数？ 思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数 的单调区间如何？ 理论迁移 -5 -3 1 3 6 o x y 例1 如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以 及在每一单调区间上， 函数 是增函数还 是减函数. 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 的定义证明. 例3 第30页探究题 小 结 利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤： 1.取数:任取x1，x2∈D，且x1x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性. 作业： P32 练习：1，2，3，4.