-学年高一数学同步：函数模型的应用实例(新人教A版必修)).pptVIP

3.2.2　函数模型的应用实例 【课标要求】 1．了解几种现实生活中普遍使用的函数模型． 2．能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题． 【核心扫描】 1．利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．建立函数模型解决实际问题．(难点) 3．选择恰当的函数模型解决实际问题．(易错点) 新知导学 1．解决函数应用问题的基本步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 2．数学模型 就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 互动探究 探究点1 解决函数实际应用问题的关键是什么？ 提示　关键是选择或建立恰当的函数模型． 探究点2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？ 提示　因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模型，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要改选其他函数模型. [思路探索]　先建立销售额与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题． [规律方法]　(1)第一小题关键在于建立y关于x的二次函数；(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式． (3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题． (1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ (2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？ [思路探索]　由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论． [规律方法]　(1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”． (2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题． 【活学活用2】 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费． 解　(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨， 即3x≤4，且5x＞4时， 类型三　数据拟合型函数的应用问题 【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表： 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． [思路探索]　先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题． 解　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示． 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟． 所以y＝0.3x. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元， 那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)， 所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2. 当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元， 此时B商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元． [规律方法]　解此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答．这个过程就是先拟合函数，再利用函数解题． 【活学活用3】 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 易错辨析　解决图表信息问题没能理解题意致错 【示例】 如图所示，圆弧型声波DFE 从坐标原点O点外传播．若D是DFE与 x轴的