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第五章 一、定积分问题举例 解决步骤 : 3) 求和(求近似和). 2. 变速直线运动的路程 3) 求和(求近似和). 二、定积分定义 定积分的几何意义: 可积的充分条件: 例2. 求下列极限:P269总习题五第3题 三、定积分的性质 当 a , b , c 的相对位置任意时, 5. 若在 [a , b] 上 推论2. 7. 定积分中值定理 说明: 内容小结 思考与练习 3. P235 题3 作业 * 一元函数积分学 不定积分(第四章) 定积分(第五章) 定积分 定积分的应用(第六章) (含反常积分) 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §5.1 定积分的概念及性质 第五章 四、 定积分的性质 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形面积 梯形面积 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任意取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 将它分成 在每个小时间段上物 2) 近似. 得 已知速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段 体经过的路程为 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊和式的极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 任意分割 任意取 取极限 若此极限存在, 则称该极限值为f(x)在[a,b]上的定积分, 即 此时称 f (x) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数f(x)在[a,b]上有界, 作积 求和 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 定理2. 且只有有限个间断点 (证明略) 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 [0,1] 上连续,所以可积 注 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)… (设所列定积分都存在) ( k 为常数) 证: = 右端 机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定 证: 当 时, 因 在 上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 则 证: 推论1. 若在 [a , b] 上 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 即 6. 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则至少存在一点 使 证: 则由性质6 可得 根据闭区间上连续函数介值定理, 使 因此定理成立. 性质7 目录 上页 下页 返回 结束 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对 因 1. 定积分的定义 — 特殊和式的极限 2. 定积分的性质 性质7( 定积分中值定理) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数在区间上的平均值公式 注: 可进一步修改为 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 用定积分表示下述极限 : 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. P236 题13 (4) 题13(4) 解: 设 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 但 (P233 7(2)) 在